РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПРЯМОМ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ. Изгибом называется такой простой вид деформации, при кото - ром в поперечном сечении стержня возникают два внутренних усилия – изгибающий момент и поперечная сила, остальные внут - ренние усилия отсутствуют. Стержни, работающие преимущественно на изгиб, называются балками. В отличие от осевого растяжения-сжатия и кручения, из - гиб представляет собой такую деформацию, при которой проис - ходит искривление оси первоначально прямого бруса. В строительных конструкциях часто встречаются балки, попе - речое сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.
Пусть все внешние нагрузки, включая и опорные реакции, лежат в одной плоскости, которую будем называть силовой плос-костью. Если эта плоскость проходит через ось симмет-рии сечения, то и ось изогнутой балки также лежит в этой плоскости. Такой изгиб называется плоским. Ось сим- метрии Ниже будем рассматривать только случай вертикального плоского изгиба, то есть будем считать, что поперечные сечения балок симметричны относительно вертикальной оси, а нагрузки лежат в вертикальной плоскости. Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного се- чения называется силовой линией. Силовая плоскость Силовая линия
Различают два типа изгиба: 1). Если в поперечном сечении балки возникает только изгибаю - щий момент, а поперечная сила отсутствует, то такой изгиб назы - вается чистым. m m Mx = m Qy=0 X Z y Mx
2). Если в поперечном сечении балки возникает и изгибающий мо - мент, и поперечная сила, то такой изгиб называется поперечным. Mx=F*z Qy=-F F F Z X Z y Mx Qy
Напряжения в поперечном сечении стержня при чистом изгибе. Изгибающий момент является равнодействующей нормальных напряжений, то есть при чистом изгибе в поперечном сечении возникают только нормальные напряжения. Выясним сначала, как напряжения распределяются по попереч-ному сечению балки. Для этого рассмотрим результаты следую-щего эксперимента. Нанесем на боковую поверхность бруса сетку из взаимно перпендикулярных линий. m m Приложим к его концам моменты m, действующие в плоскости симметрии бруса. Брус испытывает чистый изгиб.
При приложении моментов брус изгибается, при этом линии, па-раллельные оси балки, искривляются, удлиняясь вверху и укора-чиваясь внизу. Расстояние же между ними не меняется. Поэтому при изгибе выполняется следующая гипотеза: «Продольные волокна не давят друг на друга».
Линии, перпендикулярные оси балки, есть след на боковой по-верхности поперечного сечения. Как показывает опыт, эти линии после деформации остаются прямыми, а, значит, поперечные сечения остаются плоскими. Таким образом, при чистом изгибе выполняется гипотеза плос-ких сечений. Опишем теперь деформацию при чистом изгибе.
Z dz a c e d’ a c e’ d Для этого выде-лим из бруса се-чениями ac и ed элемент шириной dz. Сечения ac и ed останутся плоски-ми, но наклонятся друг к другу на угол d Θ. Точку О– точку пересечения пря-мых ac и e’d’ – назовем центром кривизны. О d Θ
c e a d Y Z X О L K ρ н.слой Так как верхние волокна удли-няются, а нижние укорачи-ваются, то обязательно суще-ствует слой LK, волокна кото-рого не изменяют свою длину. Этот слой называется нейтральным. Расстояние от этого слоя до т.О назовем радиусом кривиз-ны нейтрального слоя ρ. Систему координат выберем так, что ее начало находится в т. L, оси Z и X лежат в нейт-ральном слое, а ось Y –вертикальна. e’ d’ dz
c e a d Y Z X О L K m n n’ e’ d’ y ρ н.слой Рассмотрим еще одно во-локно mn, лежащее на рас-стоянии y от нейтрального слоя. В результате деформации волокно получит удлине-ние Δℓ = nn’. Его относительная де-формация будет равна Из чертежа видно, что Δ OLK подобен Δ Knn’, откуда следует: (5.1) dz
X Получим теперь формулу для определения напряжений. Поскольку выполняется гипотеза о ненадавливании продольных волокон, то можно считать, что эти волокна испытывают только осевое растя- жение-сжатие, при котором справедлив закон Гука. (5.2) Из этой формулы следует, что нормальные напряжения при чистом изгибе распределяются по сечению не равномерно, как при осевом растяжении-сжатии, а по линейному закону, причем они обращают-ся в ноль на нейтральном слое. y Нейтральный слой Нейтральная линия Линия пересечения нейтрального слоя и поперечного сечения называется нейтральной линией. σ z
Формула (5.2) неудобна для работы, так как в общем случае ра-диус нейтрального слоя ρ неизвестен. Получим ее в другом виде. Для этого выпишем из формул (1.1) те, в которые входит нормаль-ное напряжение σ z. N = Mx = My = (*) (**) (***) Подставим формулу (5.2) в формулу (**): Mx = Jx Отсюда получаем (5.3)
X Подставим (5.3) в (5.2): (5.4) Из (5.4) следует, что наибольшие по модулю напряжения возни-кают в точках сечения с наибольшей координатой y=y max. (5. 5 ) Нейтральная линия y σ max
y Нейтральная линия Из формулы (5.4) сле-дует, что величина напря-жений зависит от коорди-наты y, то есть зависит от выбора системы коорди-нат. Выясним сначала, как определить положение N = Sx N = так как при изгибе продольная сила N не возникает. Из последнего выражения следует, что для этого должен быть равен нулю стати-ческий момент Sx. Статический же момент обращается в нуль отно- сительно центральной оси. Отсюда следует, что ось X, то есть ней- тральная линия сечения обязательно проходит через центр тяжести. нейтральной линии. Для этого возьмем формулу (*) и подставим в нее выражение (5.2): X C
y Ось симметрии Выясним теперь место- положение оси Y. Для этого возьмем формулу (***) и подставим в нее выражение (5.2): Jxy так как при вертикальном плоском изгибе изгибающий момент My не возникает. Из последнего выражения следует, что для этого должен быть равен нулю центробежный момент инерции Jxy. Центробеж-ный же момент обращается в нуль относительно главных осей. Из-вестно, что если сечение имеет ось симметрии и одна из кординат-ных осей с ней совпадает, то эти оси будут главными. Отсюда следу-ет, что вертикальная ось Y должна совпадать с осью симметрии сечения. X C My =
Напряжения в поперечном сечении стержня при поперечном изгибе. В случае поперечного изгиба в сечении балки возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Эта сила является рав-нодействующей касательных напряжений, то есть при поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают не только нормаль-ные, но и касательные напряжения. Mx Qy σ Исследуем сначала, меняется ли картина распределения нор-мальных напряжений при попе-речном изгибе по сравнению с изгибом чистым.
В соответствии с законом парности каса-тельных напряжений, если в поперечном сечении балки возникают касательные на-пряжения, то точно такие же касательные напряжения возникают и в продольном се-чении. Y Z Первые обозначим через так как они параллельны оси Y, а вторые через так как они параллельны оси Z.
Напряжения вызывают сдвиги продольных волокон, при - чем эти сдвиги неравномерны по высоте сечения. Вследствие этих сдвигов нарушается гипотеза плоских сечений, и плоские до деформации сечения слегка искривляются. Чистый изгиб Поперечный изгиб Поперечный изгиб Q y M x
Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что величина нормальных напряжений при этом хотя и меняется, но очень незначительно. Поэтому влиянием сдвигов на закон рас-пределения нормальных напряжений пренебрегают и используют для их определения те же формулы (5.4), (5.5), что и при чистом изгибе. Получим теперь формулу для определения касательных напря-жений.
Y Z e a X d c c e a d Y Z σ z σ z +d σ z Для этого опять рассмотрим элемент aced длиной dz, предполагая на этот раз, что балка испытывает поперечный изгиб. Нормальные напряжения в этом случае в сечениях ac и ed будут не- одинаковы, но, поскольку эти сечения находятся бесконечно близко друг к другу, отличаться напряжения также будут на бесконечно малую величину d σ z. dz
Y Z e a X d c m n m n c e a d Y Z σ z σ z +d σ z A отс Выделим теперь из элемента aced элемент amne, проведя продоль- ное сечение mn. Покажем действующие на его гранях касательные напряжения Будем при этом предполагать, что эти касательные на- пряжения по всей ширине сечения, то есть вдоль оси X, распределе- ны равномерно, а направление совпадают с направлением по- перечной силы Qy, возникающей в сечении. Часть поперечного сечения, лежащую выше проведенного сечения mn, назовем отсеченной, а ее площадь обозначим через А отс.
Y Z e a X d c m n m n c e a d Y Z σ z σ z +d σ z b A отс dz Обозначим ширину сечения mn через b. Запишем условие равновесия отсеченной части.
Подставим сюда формулу ( 5.4). Выразим отсюда Подставляя сюда формулу (1.4): и учитывая закон парности касательных напряжений, окончательно получим
( 5.6) Формула ( 5.6) называется формулой Журавского. Здесь Qy – абсолютная величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются касательные напряжения; Jx – момент инерции этого сечения относительно нейтраль- ной линии (оси X); b – ширина сечения на уровне рассматриваемого волокна; -- статический момент относительно нейтральной линии (оси X ) отсеченной части сечения, лежащей выше (или ниже) уровня рассматриваемого волокна. Формула ( 5.6) дает только величину касательных напряжений. На- правления их совпадают с направлением поперечной силы Qy. Распределение касательных напряжений по высоте сечения су - щественно зависит от формы сечения.
Y X Рассмотрим несколько частных случаев. Будем предполагать, что поперечная сила в рассматриваемых сечениях направлена вверх. 1. Сечение прямоугольной формы. y b h C C отс y Сотс h/2-y M A отс Рассмотрим прямоугольное сече- ние размерами h*b, проведем глав- ную центральную систему коорди- нат CXY. Найдем величину касательных напряжений в произвольной т.М с координатами ( x,y). Сначала проведем через эту точку линию, параллельную оси X. Назо- вем отсеченной часть сечения, лежа- щую, например, выше этой линии. Обозначим через С отс центр тя- жести отсеченной части и найдем его координату.
Y X y b h C C отс y Сотс h/2-y M A отс Найдем площадь отсеченной части. Найдем статический момент отсе- ченной части. Момент инерции прямоугольного сечения
Подставляем все найденные величины в формулу Журавского: Это уравнение параболы. Построим ее график. Для этого найдем значения напряжения в нескольких точках. Y X h C 1 2 3 В т.1 y=h/2; В т. 3 y=-h/2; В т. 2 y=0;
Y X h C 1 2 3
2. Сечение в форме швеллера. t d 1 Рассмотрим сечение в форме швел- лера. Для простоты рассуждений бу-дем считать элементы швеллера пря-моугольниками. Проведем главную центральную систему координат CXY. Найдем величину касательных на-пряжений в нескольких характерных точках швеллера: т.1, лежащая на верхнем волокне : , так как все сечение лежит ниже этого волокна и X Y h b C
1 h b t d 2 Y X т.2, лежащая на полке чуть выше уровня сопряжения полки и стенки. Отсеченной частью в данном слу - чае будет прямоугольник разме - рами b*t; А отс = b * t ; координата центра тяжести y отс этого прямоугольника равна h/2-t/2. Можно показать, что между точка-ми 1 и 2 касательное напряжение будет меняться по закону квадрат-ной параболы. y отс Тогда C
Рассмотрим теперь т.3, лежащую на стенке чуть ниже уровня сопряжения полки и стенки. Отсеченной частью в данном случае будет тот же прямоугольник, что и в предыдущем случае, то есть стати-ческий момент меняться не будет. Изменится только ширина сечения на уровне отсеченной части.Тогда Так как стенка швеллера тоже явля-ется прямоугольником, то и вдоль 3 нее касательное напряжение тоже будет меняться по закону квад-ратной параболы. Поскольку b>>d, то и Эпюра касательных напряжений на уровне сопряжения полки и стенки делает резкий скачок. 1 h b t d 2 Y X C
Отметим, что обычно ввиду малости касательные напряжения Максимальные касательные напряжения возникают на нейтраль-ной линии (т.4) и определяются по формуле: на полках швеллера не определяются. ( получить самостоятельно). 4 3 1 2 Строим эпюру
Однако прокатные профили и по-добные им так называмые тонко-стенные стержни имеют еще одну особенность. Рассмотрим элемент сечения pmns длиной dz такой, что его грань sn совпадает с боковой поверхностью балки. Очевидно, что в сечениях ps и mn возникают нормальные напряжения, причем они будут отличаться на бес-конечно малую величину. Из чертежа видно, что для того, что-бы элемент pmns был уравновешен, необходимо, чтобы в сечении pn возникали напряжения, параллель-ные оси Z и направленные так, как показано на рисунке. Это будут касательные напря-жения dz p m n s σ z σ z +d σ z Z Y X
dz p m n s σ z σ z +d σ z Z Y Обозначим через А отс площадь сечения ps. Запишем условие равновесия элемента pmns. t Повторяя предыдущие выкладки, получим формулу, аналогичную формуле Журавского. (5.7) Согласно закону парности касательных напряжений, в поперечном сечении балки будут возникать напряжения которые можно вычислить по той же формуле (5.7). А отс X
t Y Таким образом, на полках швеллера кроме напряжений возникают и на-пряжения Посмотрим, как меняются эти напря-жения вдоль полки швеллера. Для это-го определим их в произвольной точке К ( x,y). Обозначим через r расстояние от т.К до стенки. Проведем через точку К линию,пара - ллельную оси Y и назовем часть пол-ки, лежащую левее линии, отсеченной. Найдем сначала статический момент отсеченной части. Подставим это в формулу (5.7) это линейная функция. К r b-r C K y CK X h b C d
Найдем значения этого напряжения в двух точках. В т. 5 r=d; В т. 6 r=b; На нижней полке значения напряжений будут отличаться только знаком. По полученным значениям строим график вдоль полок швеллера. К r b-r h b 5 6 d
Покажем окончательный вид эпюр касательных напряжений на полках и стенке швеллера. Стрелочками указаны их направления, которые опреде- ляются направлением попереч- ной силы. Можно показать, что касатель-ные напряжения равномерно распределены по толщине сече-ния Распределение касательных напряжений в швеллере и дру - гих аналогичных тонкостенных профилях, имеет одну интерес - ную особенность.
Найдем равнодействующие касательных напряжений T 1 и T 2. Если пренебречь на полках, то Равнодействующую найдем, вычислив площадь со- ответствующей эпюры и умно- жив ее на толщину полки: Покажем эти силы на чертеже. b d
T 2 T 1 T 1 Из рисунка видно, что силы Т 1 и Т 2 стре-мятся повернуть сечение вокруг центра тяжести т.С в одну и ту же сторону, то есть в сечении возникает дополнительное внутреннее усилие – крутящий момент М z. За счет этого усилия в сечении возникают и дополнительные напряжения, что небла-гоприятно сказывается на прочности бал-ки. Чтобы это предотвратить, необходимо прикладывать внешнюю нагрузку так, что-бы она уравновешивалась внутренними усилиями без появления кручения. Обоз-начим через О соответствующую точку. Точка О называется центром изгиба. С h/2 е O Тогда
С O F Таким образом, чтобы швеллер не испытывал дополнительно воз- никающего кручения, надо добиваться того, чтобы линия действия внешней нагрузки (силовая линия) проходила не через центр тяжести т.С, а через центр изгиба т.О.
3. Сечение в форме двутавра. h b t d Y X Распределение касательных напряжений в двутавре аналогично распределению их в швеллере. При этом ( получить самостоятельно).
Y X
Y X Z F X Z Исследование напряженного состояния в точке балки. Рассмотрим кон-сольную балку пря-моугольного попе- речного сечения, на-груженную, напри-мер, сосредоточен-ной силой. Выберем в этом сечении произволь-ную точку. Проведем в этой балке произвольное сечение и отбросим часть балки, лежа-щую, например, справа от сечения. нейтральный слой
Y X Z Вырежем вокруг этой точки элементарный параллелепипед. Изобразим этот параллелепипед в увеличенном виде, нагрузим его грани напряжениями, которые могут возникать в самом общем слу- чае и определим, какие из них будут отсутствовать в случае прямого плоского изгиба. Для простоты изображения покажем напряжения только на трех видимых гранях параллелепипеда.
1). Передняя грань параллелепипеда совпадает с боковой поверхностью балки, свободной от нагрузки, и по-этому напряжения на этой грани от-сутствуют Y X Z 2). В силу закона парности касательных напряжений 3). Нормальные напряжения на верхней грани параллелепипеда отсутствуют в силу гипотезы о ненадавливании продольных воло- кон друг на друга, то есть
Таким образом, у элементарного параллелепипеда имеется толь-ко одна пара свободных от напряжений площадок, то есть имеет место плоское напряженное состояние. Главные напряжения найдем по формуле (3.4): (5.8) главные направления по формуле (3.5): (5.9)
Y Z F Выше было показано, что в поперечном сечении балки возникают нормальное и касательное напряжения, определяемые по форму- лам (5.4) и (5.6) соответственно. Эпюры этих напряжений представ- лены на рисунке. + -
К 1 К 1 К 1 + - Согласно эпюрам, в т.К 1 В силу закона парности ка- ное состояние. Из (5.8) получим Рассмотрим т. К 1 и т.К 2, лежащие соответственно на верхнем и ниж- нем продольных волокнах балки. сательных напряжений Аналогично в т. К 2 Имеем линейное напряжен- К 2 К 2 К 2
Согласно эпюрам, в т.М В силу закона парности Рассмотрим т.М, лежащую в нейтральном слое. + - М М М касательных напряжений Из (5.8) получим Таким образом, на гра- нях элемента в т.М возникают только касательные напряжения. Та- кое напряженное состояние называется чистым сдвигом.
Таким образом, в т. М главные площадки расположены под углом 45 0 и -45 0 к поперечному сечению балки. Из (5.9) получим
Определяя аналогич-ным образом направ-ления главных напря- жений в других точках балки, мы можем изо-бразить так называе-мые главные траек-тории. Так называются линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направ-лением главного на-пряжения ( σ 1 или σ 3 ). Траектории Траектории
По траектории можно судить о том, где и в каком направлении могут появиться тре-щины, если материал конструкции плохо ра-ботает на растяжение. При армировании же-лезобетонных балок арматуру целесооб-разно располагать в зонах и, по возмож-ности, по направле-нию растягивающих напряжений.
Расчет на прочность при изгибе. 1. Расчет по методу предельных состояний. В качестве опасного сечения при расчете на изгиб выбирают сече-ние, в котором достигает наибольшего значения изгибающий мо-мент. Изобразим это сечение и эпюры возникающих в нем напря-жений. Нейтральная линия + - Опасные точки Опасными точками такого сечения являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии, так как в этих точках возникают наибольшие нормальные напряжения.
Нейтральная линия + - Опасные точки В этих точках, как было показано выше, возникает линейное на- пряженное состояние, поэтому по любой теории прочности условие прочности записывается в виде: Если балка выполнена из хрупкого материала, то записываются два условия прочности:
В опасных точках сечения балки возникает линейное напряженное состояние; во всех остальных – плоское. В частности, в точках, ле- жащих на нейтральной линии Тогда, используя, например, четвертую теорию прочности, получим Отсюда где R ср – это расчетное сопротивление на срез;
Кроме того, условие прочности по касательным напряжениям важ- но проверять в следующих случаях: 1) если балка короткая; 2) если она нагружена большими сосредоточенными силами, приложенными на малых расстояниях от опор. В таких бал- ках поперечные силы могут иметь значительную величину, в то время, как изгибающие моменты оказываются сравни- тельно небольшими; 3) если балка деревянная. Для деревянных балок расчет на прочность по касательным напряжениям может иметь реша- ющее значение, так как дерево плохо сопротивляется ска- лыванию вдоль волокон. Условие прочности в точках, лежащих на нейтральной линии (ус- ловие прочности по касательным напряжениям), проверяют, если поперечная сила достигает наибольшего значения в опасном сече-нии балки. Отметим, что точно также будет записываться условие прочности во всех случаях состояния чистого сдвига.
Нейтральная линия + - В тонкостенных стержнях могут быть точки, в которых и нормаль- ные, и касательные напряжения одновременно достигают больших значений (например, точки стенки швеллера, лежащие на линии со- пряжения полки и стенки). В этом случае при расчете на прочность также используются тео- рии прочности (3.8).
2. Расчет по методу разрушающих нагрузок. Рассмотрим расчет балки прямоугольного поперечного сечения, выполненной из пластического материала. X Y 1) b h Сначала при небольших значениях внешней нагрузки балка рабо- тает в пределах упругой зоны. В ней возникают напряжения, которые можно определить по фор- муле (5.5) (рис.1):
X Y 1) 2) 3) 4) b h Затем, при увеличении внешней нагрузки в наиболее напряженных крайних точках сечения напряжения достигнут предела текучести σ т (рис.2). При изучении дальнейшего поведения материала будем пользо- ваться диаграммой Прандтля, согласно которой напряжения, дос- тигнув предела текучести, уже не меняют своей величины, то есть при увеличении нагрузки пластическая зона постепенно проникает вглубь сечения; упругая часть сечения сокращается (рис.3). Можно условно считать, что в пределе она пропадает совсем; во всех точках сечения наступает текучесть (рис.4), то есть деформации будут нарастать при постоянной нагрузке.
X Y 4) b h Говорят, что в опасном сечении балки появляется так называемый пластический шарнир. После этого балка полностью исчерпывает свою несущую способность и начинает складываться, как механизм. Найдем изгибающий момент М x раз, соответствующей этому состоя- нию бруса. Из формулы (1.1) M x раз = M x раз = По формуле (5.5) найдем наибольший изгибающий момент по ме- тоду предельных состояний: А 1 А 1
Сравним полученные по двум разным методам значения моментов: Для круга это отношение равно 1,7; для двутавра – 1,15. Таким образом, мы показали, что метод разрушающих нагрузок и при изгибе, как и при осевом растяжении-сжатии, позволяет вскрывать дополнительные резервы конструкции.
Подбор рационального сечения балки. 1. Пластический материал. Подбор сечения балки осуществляется с помощью условия прочности: При подборе сечения следует стремиться к тому, чтобы подо-бранное сечение было возможно более рациональным, то есть таким, для которого отношение было возможно большим. Это означает, что при минимальной пло- щади, то есть при минимальных затратах материала, надо стремить- ся получить как можно больший момент сопротивления, то есть по- лучить наибольшую прочность балки.
Так как по определению то Wx будет тем больше, чем больше Jx. По определению то есть Jx, в свою очередь, будет тем больше, чем дальше рас- полагаются от нейтральной линии частицы площади сечения. Поясним это на следующем примере. Рассмотрим два сечения, составленных из одних и тех же элементов: два тавровых и восемь прямоугольных. а а 2а 5а а 2а
5а 6а Найдем величину β для этого сечения. Первое сечение – прямоугольное.
Второе сечение – типа двутаврового. x x 1 x 2 C y Найдем сначала момент инерции этого сечения относительно оси X: Момент сопротивления будет равен а 2,5а 2а 13а
Площадь этого сечения такая же, как и прямоугольного, поскольку оно составлено из тех же элементов, А=30а 2. Тогда Таким образом, мы получили, что значение β для двутаврого сече- ния значительно больше, чем для прямоугольного, то есть двутав- ровое сечение более рационально, чем прямоугольное. Этот же вывод можно получить и из других соображений. Изобра- зим прямоугольное сечение и покажем рядом с ним эпюру нормаль- ных напряжений.
Из эпюры нормальных напряжений следует, что наибольшие но- рмальные напряжения возникают в крайних точках сечения; в области нейтральной линии материал почти не работает. Поэтому будет рационально его из этой области изъять и распо- ложить в наиболее напряженной зоне. В результате таких манипуляций и получится сечение, напоми- нающее двутавровое. нейтральная линия
2. Хрупкий материал. Такие материалы хорошо работают на сжатие и значительно хуже— на растяжение. Поэтому целесообразно, чтобы наибольшие растя- гивающие напряжения в таких балках были как можно меньше. Это- го можно добиться в балках с поперечными сечениями, несим- метричными относительно нейтральной линии. Рассмотрим опять два сечения, составленных из одинаковых элементов : прямоуголь- ное и тавровое. Предположим, что в балке растягиваются нижние волокна. + - В силу симметрии прямоугольного сечения наибольшие растяги-вающие и сжимающие напряжения в этом сечении будут одинаковы. Попробуем сконструировать новое сечение, перенося материал из менее опасной зоны сжатия в более опасную зону растяжения.
- нейтральная линия C y В итоге получим тавровое сечение, несимметричное относительно нейтральной линии. Центр тяжести этого сечения сместится по срав- нению с прямоугольным вниз, вместе с ним сместится и нейтраль- ная линия, а, значит, изменится и эпюра напряжений. Из эпюры видно, что в результате этого значительно уменьшатся опасные для хрупкого материала растягивающие напряжения. Сле- довательно, второе сечение будет более рационально, чем первое.
Понятие о расчете неоднородных балок В строительстве часто используются балки, составленные из раз- ных материалов. Например, железобетонные балки, или так называ- емые сталежелезобетонные балки, где в сжатой зоне располагают железобетонную плиту, хорошо работающую на сжатие, а в нижней растянутой зоне – стальные балки. железобетон сталь При хорошем соединении частей сечения можно считать, что оно представляет собой монолитное сечение. Тогда при расчете такой балки будут справедливы все основные формулы, но с поправкой на неоднородность сечения.
Эту поправку внесем аналогично тому, как это было сделано при осевом растяжении-сжатии: 1) во всех основных формулах изгиба заменим обычные геомет- рические характеристики на приведенные: где -- коэффициент приведения i -го материала к основ- ному (первому) материалу; 2) введем этот коэффициент во все основные формулы изгиба: и т.д.
Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении сталежелезобетонной балки, входящей в состав путепровода, от временной нагрузки q=27 кН/м. Двутавр №45 Пример. сталежелезобетонная балка Поперечное сечение балки состоит из железобетонной части (при расчете арматуру учитывать не будем) – прямоугольник размером 120х12см и стальной– двутавр №45. 120см 12см
q=27 кн / м ℓ = 8м Будем считать, что балка длиной 8м шарнирно оперта по краям и загружена равно- мерно распределенной на- грузкой интенсивностью q=27 кн / м. Решение.
Qy М x q=27 кн / м ℓ = 8м Найдем реакции опор и по- строим эпюры внутренних усилий Qy и Mx. Опасным будет сечение в середине балки, М max=216 кнм. Рассмотрим это сечение. За основной материал возьмем бетон; Е 1 =2*10 4 МПа; другой материал – сталь; Е=2*10 5 МПа.
Y 120см 12см 45 см C 1 C 2 X 0 O Найдем положение цен- тра тяжести сечения отно-сительно произвольной системы координат OX 0 Y. Выпишем координаты центров тяжести прямо-угольника и двутавра отно-сительно системы OX 0 Y и площади этих фигур: т.С 1 (0, y 1 =51); A 1 =1440; т.С 2 (0, y 2 =22,5); A 2 =84,7. Здесь и далее расчеты ве-дутся в сантиметрах.Найдем приведенную площадь:
X Y 120см 12см 45 см C C 1 C 2 X 0 O Координату центра тя-жести найдем по форму-ле: Покажем точку С -- центр тяжести – на чертеже. Так как ось Y совпадает с осью симметрии фигуры, то проведенные через точку С оси X и Y будут главными центральными осями сечения. y c =40,5 см
X X 1 X 2 Y 120см 12см 45 см C C 1 C 2 40,5 см Найдем приведенный момент инерции: а 1 а 2
X Y 12см 45 см C 40,5 см Определим напряжения по формуле: Значения y здесь подставляем в мет- рах. Найдем напряжения в нескольких 1) В бетоне -- 1 2 точках, учитывая, что, как следует из эпюры Mx, выше оси x лежит зона сжатия, ниже – растяжения. y 1 y 2
Y 45 см C y 3 = 40,5 см 1 2 По найденным значениям строим эпюру напряжений. Из эпюры видно, что вся бетонная часть балки лежит в сжатой зоне, а в месте сопряжения двух разных материалов на эпюре возникает скачок. 5 1,4 14 120 ,МПа y 2 3 - + 2 ) В стали --
