Теоретическая механика изучает материальную точку и абсолютно твердое тело. Теория упругости изучает твердые тела. Гидравлика – жидкости. Аэрогазодинамика – газообразные вещества.
Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости, устойчивости и надежности инженерных конструкций. Целью курса является разработка инженерных методов расчета конструкций и их деталей, а также методов изучения свойств материалов.
свойство деталей и конструкций выдерживать рабочие нагрузки без разрушения или пластических деформаций.
свойство конструкций или деталей выдерживать рабочие нагрузки без значительных деформаций, нарушающих их нормальную работу.
вибростойкими вибропрочными устойчивыми технологичными иметь современный дизайн.
Применительно к расчетам на прочность и жесткость физическая модель должна отражать: геометрические свойства детали, свойства материала детали, действующие на деталь нагрузки.
стержни пластины и оболочки массивы
тела, у которых одно измерение существенно больше двух других (ширина, высота). Характеризуются поперечным сечением и формой оси.
тела, у которых одно измерение существенно меньше двух других. Характеризуются толщиной и формой серединной поверхности.
тела, у которых все три измерения соизмеримы.
Реальные конструкционные материалы (стали, чугуны, цветные материалы) имеют кристаллическое строение, кристаллы малы и расположены хаотично. Сложность реального строения и возникающая трудность при математическом его описании явились причиной разработки модели твердого тела.
Эта модель должна сохранить основные свойства материалов и в тоже время сделать простым их аналитическое описание. Поэтому в расчетах на прочность и жесткость принимается ряд основных гипотез и допущений :
материал не имеет в своей структуре пустот.
одинаковые свойства материала в любой точке детали.
одинаковые свойства материала в различных направлениях.
Упругость – свойство тела восстанавливать форму и размеры после снятия нагрузки. Пластичность – свойство тела получать большие остаточные деформации после снятия нагрузки.
перемещения конструкции малы по сравнению с размерами конструкции.
в зоне действия упругих деформаций зависимость между силой и приращением размера линейная.
плоское до нагружения сечение остается плоским и после нагружения.
Все свойства физической модели, описанные уравнениями, составляют математическую модель деформированного тела.
статические – включающие нагрузки и условия равновесия; физические – отражающие связь между нагрузками и деформациями; геометрические – отражающие изменение формы и размеров под нагрузкой.
по типу контакта – сосредоточенная нагрузка – распределенная (погонная) нагрузка – массовые силы по закону изменения во времени – статическая – динамическая
приложена к части внешней поверхности тела, размеры которой малы в сравнении с размерами тела. На схеме изображается как вектор (стрелка). Задаётся в [ Н ] Р
приложена к части поверхности тела или ко всей поверхности. Для распределённой нагрузки задается её интенсивность, т.е. количество нагрузки приходящейся на определенный участок поверхности нагружаемого тела. Интенсивность постоянной нагрузки, распределенной по длине бруса задается в [ кН/м ]. q q q q q q q q
в сечениях, достаточно удалённых от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагрузки и определяется лишь статическим эквивалентом нагрузки.
При решении задач возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими ( интегральными ) характеристиками плоских сечений (ИХС). Эти характеристики имеют применение, в основном, при решении задач на прочность и жесткость, в силу узкого прикладного значения их рассматривают в курсе «Сопротивления материалов».
площади сечения относительно осей Х и Y называются определённые интегралы вида где F – площадь сечения, dF – её элемент, x и y – координаты этого элемента. Статические моменты могут быть любого знака и имеют размерность м 3 .
x c и y c, составленного из нескольких простых фигур ( i – индекс фигуры), определяются соотношениями: где а i – расстояние между вспомогательной осью Х и центральной осью i -той фигуры Х i, b i – расстояние между вспомогательной осью Y и центральной осью i -той фигуры Y i, F i – площадь i -той фигуры.
Статические моменты относительно центральных осей равны нулю.
площади сечения относительно осей Х и Y называются определённые интегралы вида: Осевые моменты инерции могут быть только положительными и имеют размерность – м 4 .
площади сечения относительно осей Х и Y называется определённый интеграл вида: Центробежный момент инерции может быть любого знака и имеет размерность – м 4 .
параллельных вспомогательным, вычисляются по формулам: где J xci, J yci, J xciyci – моменты инерции i -той фигуры относительно собственных центральных осей, параллельных вспомогательным осям.
т.е. две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, занимают положение, определяющееся уравнением: где α – угол, на который необходимо повернуть оси, чтобы они стали главными.
Форма поперечного сечения Момент инерции J, см 4 Момент сопротивленияW, см 3 y b x h
Форма поперечного сечения Момент инерции J, см 4 Момент сопротивленияW, см 3 y a x a
Форма поперечного сечения Момент инерции J, см 4 Момент сопротивленияW, см 3 d x y
Форма поперечного сечения Момент инерции J, см 4 Момент сопротивленияW, см 3 в вершине у основания y b x h h/3
Под влиянием внешней нагрузки реальные тела деформируются в отличие от абсолютно твердого тела, изучаемого в курсе теоретической механики. При этом между рядом расположенными частицами тела возникают, по законам физики, внутренние силы.
силы взаимодействия между частицами тела, возникающие в результате деформации.
изменение формы и/или размеров тела, вызванное изменением взаимного положения частиц (атомов, молекул) этого тела под влиянием внешней нагрузки или изменения температуры.
растяжение-сжатие (увеличение-уменьшение продольного и поперечного размера) изгиб (изменение кривизны продольной оси) кручение (взаимный поворот поперечных сечений относительно продольной оси)
3 линейные деформации (соответственно вдоль осей X,Y,Z) 3 угловые деформации (изменение первоначально прямых углов между координатными осями X,Y,Z). Линейные деформации: – абсолютные, т.е. приращение длины отрезка (разность между конечным и начальным размером); – относительные, т.е. отношение абсолютных деформаций (приращений длины) к первоначальной величине деформированного отрезка.
Линейные деформации обозначаются х, у, z - соответственно вдоль X,Y, Z. Угловые деформации обозначаются ху, х z, z у – соответственно изменение прямых углов в плоскостях XY, XZ, ZY. Для изучения внутренних сил в теле используется метод сечений.
заключается в мысленном разделении тела на две части каким-либо сечением. Левая часть Правая часть
Все тело находится в равновесии. После мысленного рассечения и отбрасывания правой части, её действие должно быть заменено системой сил в сечении, сохраняющих равновесие левой части. Такие же силы, но противоположного направления, действуют на правую часть.
При этом внутренние силы взаимодействия между частицами, расположенными вблизи друг от друга, но разделенными сечением, можно рассматривать как внешние – для каждой из частей тела. Так как обычно в сопротивлении материалов рассматриваются покоящиеся элементы конструкций, то система внешних сил (включая силы, приложенные со стороны другой части тела), приложенных к каждой из частей тела является уравновешенной.
Левая часть Левая часть М Q
Разложим главные вектора по осям в правой системе координат: Q ( Q x, Q y, Q z ); M (M x, M y, M z ) Левая часть Q у Q х Q z Левая часть М z М у М х
Q x, Q y – поперечные силы; Q z ( N ) – продольная сила; M x, M y – изгибающие моменты; M z (к) – крутящий момент.
Сила считается положительной, если ее направление совпадает с осью. Момент считается положительным, если он создает вращение против хода часовой стрелки (смотреть необходимо с конца соответствующей оси).
График зависимости величины какого-либо внутреннего силового фактора от координаты z поперечного сечения, в котором действует этот внутренний силовой фактор, называется эпюрой. Эпюры имеют большое значение в расчетах на прочность, так как позволяют легко определить сечение, в котором брус максимально нагружен. Такое сечение называется опасным сечением.
часть бруса, для которой эпюра есть непрерывная линия, выражаемая единой формулой. Практически сначала определяются границы грузовых участков, а грузовой участок – часть бруса между границами.
являющееся началом/концом бруса или местом излома продольной оси; в котором приложена сосредоточенная нагрузка или пара сил; начинается /заканчивается/ изменяется интенсивность распределенной нагрузки; в котором имеется опора (это частный случай приложения сосредоточенной силы, т.к. опора создает реакцию).
– это информация об известных интегральных характеристиках напряжённого состояния в начале или конце стержня. Различают: левое Г.У. (с противоположным знаком) правое Г.У. (с естественным знаком)
Нагруженное тело мысленно рассечем плоскостью, и действие отброшенной части заменим действием внутренних сил. В сечении выберем произвольную точку, а в её окрестности элементарную площадку F. Равнодействующую сил, действующих на площадку, обозначим Р.
Среднее полное напряжение на заданной площадке будет равно: Р ср =. Р F
Напряжение – это предел отношения внутренней силы к площади, на которой она действует, при условии, что площадь стремится к нулю. Р – полное напряжение [Н/м 2 =Па]. P = lim F 0
Проекцию полного напряжения на нормаль к плоскости сечения будем называть нормальным напряжением (обозначается ), а проекцию полного напряжения на плоскость сечения – касательным напряжением (обозначается ).
(нормальное напряжение) Р (касательное напряжение) Р =
Направление касательного напряжения не однозначно, что создает неудобство при математической обработке, поэтому его раскладывают по координатным осям в плоскости сечения.
Y z zy zx Z X
Индекс нормального напряжения ( σ i ) соответствует оси, перпендикулярной плоскости сечения. Индексы касательного напряжения ( τ ij ) проставляются следующим образом: первый индекс соответствует оси, перпендикулярной плоскости сечения, в котором лежит касательное напряжение, второй индекс соответствует оси, которой параллельно касательное напряжение.
Совокупность напряжений по всем плоскостям, проходящим через заданную точку, называется напряженным состоянием в точке тела.
В общем случае в точке твердого деформированного тела может возникнуть 9 напряжений: 3 нормальных и 6 касательных. Эти напряжения образуют тензор напряжений:
Существует связь между интегральными характеристиками напряжений и напряжениями в сечении. Y z zy zx Z X dF
где – нормальное напряжение в точке сечения; N – продольная сила в сечении; М х, М у – изгибающие моменты в сечении; F – площадь поперечного сечения; J х, J у – главные осевые моменты инерции сечения; х, у – координаты точки, в которой вычисляется напряжение относительно главных центральных осей.
где – касательное напряжение в точке сечения; М к – крутящий момент в сечении; J – полярный момент инерции сечения; – расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой вычисляется касательное напряжение; W ρ – полярный момент сопротивления.
где – касательное напряжение в точке сечения; Q у – поперечная сила в сечении; S * x – статический момент части сечения отсеченной по уровню на котором вычисляются напряжения относительно главной оси Х; J х – осевой момент инерции относительно главной оси Х; b – ширина сечения на том уровне, где вычисляются напряжения.
При проектировании строительных конструкций, машин и механизмов инженеру необходимо знать значения величин, характеризующих прочностные и деформационные свойства материалов. Их можно получить путем механических испытаний, проводимых в экспериментальных лабораториях на соответствующих испытательных машинах. Наибольшую информацию о механических свойствах металлов можно получить из статических испытаний на растяжение. Испытания проводятся в соответствии с ГОСТом.
Образцы имеют рабочую часть с начальной длиной l 0, на которой определяется удлинение, и головки с переходным участком, форма и размеры которых зависят от способов их крепления в захватах машины. l 0 d 0
Испытания проводят на разрывных или универсальных машинах. Разрывная машина снабжена устройством для автоматической записи в определенном масштабе диаграммы растяжения, т.е. графика зависимости между растягивающей силой Р и удлинением образца l. Рассмотрим диаграмму растяжения образца из низкоуглеродистой стали.
P Δ l А В С О D К Диаграмма растяжения
ОА – зона упругости АВ – зона пропорциональности ВС – зона общей текучести (площадка текучести) С D – зона упрочнения DK – зона местной текучести
σ ε σ т σ В σ пц σ у Диаграмма условных напряжений
σ у – предел упругости σ пц – предел пропорциональности σ т – предел текучести σ в – предел прочности (временное сопротивление отрыву) – закон Гука Е – модуль Юнга Механические характеристики материала:
σ ε σ В σ В хрупкий материал пластичный материал
определяются по формуле: n – коэффициент запаса (1,5 … 17) Помимо характеристик прочности диаграмма напряжений позволяет определять характеристики пластичности.
– это отношение приращения расчетной длины образца после разрыва к ее первоначальному значению, вычисляемое по формуле:
– это отношение уменьшения площади поперечного сечения образца в месте разрыва к начальной площади поперечного сечения образца:
Р Δ l хрупкий Δ l пластичный РАСТЯЖЕНИЕ: СЖАТИЕ: пластичный хрупкий Р
Растяжение-сжатие W – линейное (горизонтальное) перемещение; Кручение Θ – угол закрутки (угловое перемещение); Изгиб – угол поворота сечения; V – прогиб (вертикальное перемещение);
называется система, у которой число наложенных связей равно числу степеней свободы. Если же число наложенных связей будет больше, то такая система называется статически неопределимой, а разница между ними определяет степень статической неопределимости плоской рамы: n = m – 3, где n – степень статической неопределимости, m – число наложенных связей.
Жёсткая заделка m= 3 Шарнир неподвижный m= 2 Шарнир подвижный m= 1
n = m – 3= 4 – 3= 1. Вариант основной системы:
Растяжение-сжатие Кручение Изгиб
Площадь треугольника (эпюра моментов) Координата центра тяжести по оси Y 1 Р Р l l 2 l/ 3 ц.т.
где F кр – критическая сила сжатого стержня; Е – модуль упругости; J min – минимальный момент инерции сечения; l – приведённая длина стержня.
Схема нагружения µ=0,5 µ=0,5 µ=0,7 µ=1 µ=2
