СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Определение 1. Если каждое возможное значение СВ определяется одним числом, то СВ называется одномерной. Например, положение точки на числовой прямой определяется одним числом – координатой х. Текущая успеваемость (месячный рейтинг) студен- та по одному предмету – одномерная СВ. А текущая успеваемость студента по всем дисциплинам – n –мерная СВ, где n – число дисциплин. Определение 2. Если каждое возможное значение СВ определяется n числами, то СВ называется
n –мерной СВ или системой n случайных величин. Например, положение точки на плоскости определяется двумя числами – х и y. Двумерная СВ обозначается ( X, Y ), a n - мерная СВ обозначается ( X 1, X 2,…, X n ). Рассмотрим систему двух дискретных СВ ( X, Y ). Пусть СВ Х принимает n значений х 1, х 2,…, х n, а СВ Y принимает m значений y 1, y 2,…, y m. Через p ij обозначим вероятность того, что СВ Х примет значение x i, а СВ Y примет значе- ние y j. ( i = 1,n; j = 1,m).
Тогда закон распределения системы двух случайных величин ( X, Y ) задается матрицей распределения, представленной в виде таблицы: Y X y 1 y 2 y j … … y m x 1 x 2 … x i … x n p 11 p 12 … p 1 j … p 1 m p 21 p 22 … p 2 j … p 2 m … … … … … … p i1 p i2 … p ij … p im … … … … … … p n 1 p n 2 … p nj … p nm
Здесь p ij = P(X = x i, Y = y j ). Так как все возможные комбинации { X = x i, Y = y j }, ( i = 1, n ; j = 1, m ) образуют полную группу собы - тий, то Σ i=1 n Σ m j=1 p ij = 1. Зная матрицу распределения системы двух СВ, можно найти ЗР каждой из них в отдельности. События { X = x i, Y = y j } являются несовмест - ными, поэтому
P ( X = x i ) = p i 1 + p i 2 + …+ p i j + …+ p im = Σ m j=1 p ij – суммирование по i - й строке. P ( Y = y j ) = p 1 j + p 2 j + …+ p ij + …+ p nj = Σ i =1 n p ij – суммирование по j - му столбцу. Пример. Имеется портфель акций, состоящий из двух типов акций, отличающихся по ожидаемым нормам прибыли. Матрица распределения норм прибыли имеет вид:
Глубокий спад Рост Мощный подъем Глубокий спад Рост Мощный подъем Y X 0 0,2 0,5 0,1 0,2 0,4 0,1 0 0,2 0 0,3 0 0,1 0,3 0
Найти ЗР каждой СВ. х 1 = 0,1: ЗР СВ Х: Х 0,1 0,2 0,4 Р 0,3 0,3 0,4 ЗР СВ Y: : : : : :
Y 0 0,2 0,5 P 0,2 0,6 0,2 Числовые характеристики системы двух СВ Числовыми характеристиками системы двух СВ являются начальные и центральные моменты различных порядков. Определение 1. Начальным моментом порядка k + s называется математическое ожидание произ - ведения
Определение 2. Центральным моментом порядка k + s называется = Рассмотрим начальные и центральные моменты первого и второго порядков, где порядок – это k + s.
Определение 3. Центральный момент называется ковариацией или корреляционным моментом и вычисляется по формуле:
Свойства ковариации 1) cov ( X, X ) = M((X – M(X))(X – M(X))) = = M(X – M(X)) = D ( X ); 2) можно представить: cov ( X, Y ) = M ( XY ) – M(X ) M ( Y ); 3) Если X и Y – не зависимы, то cov ( X, Y ) = 0. Определение 4. Коэффициентом корреляции называется отношение 2
Если то СВ X и Y коррелированны, т. е. связаны корреляционной зависимостью. Если же то СВ X и Y не коррелированны. Из условия, что СВ X и Y коррелированны, следует, что они зависимы, но из зависимости X и Y не следует, что они коррелированны,так как кроме корреляционной существуют еще и другие виды зависимости. Если то связь между X и Y – тесная, а если т. е. близок к 0, то связь между X и Y – слабая.
Вернемся к примеру о портфеле акций и дадим экономический смысл начальным и центральным моментам первого и второго порядков. М(Х) и М( Y ) – ожидаемые нормы прибыли по двум типам акций.
D ( X ) или – степень разброса норм прибыли первого типа акций, следовательно, степень риска инвестиционного проекта Х. D ( Y ) или показывает степень риска инвестиционного проекта Y. cov ( X, Y ) показывает: 1) вариацию норм прибыли по двум типам акций; 2) тенденцию движения двух типов акций вверх и вниз. Если cov ( X, Y ) > 0 и достаточно большая, то обе группы акций двигаются одинаково: обе вверх или обе вниз, следовательно, при покупке этих акций есть
риск разориться. Если cov ( X, Y ) < 0 и достаточно большая, то одни акции идут вверх, а другие вниз, или, наоборот, следовательно, такой портфель акций достаточно стабилен. Пример ( продолжение). Вычислим начальные и центральные моменты: , , , , = cov ( X, Y ),
коэффициент корреляции . М(Х) = 0,1*0,3 + 0,2*0,3 + 0,4*0,4 = 0,25; M(Y) = 0*0,2 + 0,2*0,6 + 0,5*0,2 = 0,22; D(X) = = 0,0165; = 0,0256;
= 0.1*0*0.1+ 0.1*0.2*0 + 0.1*0.5*0.2 + 0.2*0*0 + + 0.2*0.2*0.3 + 0.2*0.5*0 + 0.4*0*0.1 + 0.4*0.2*0.3 + + 0.4*0.5*0 – 0.25*0.22 = – 0.009; Так как cov ( X, Y ) < 0, то одни акции идут вверх, а другие вниз, но cov ( X, Y ) мала, кроме того поэтому СВ X и Y коррелированны, но связь между ними слабая. Такой портфель акций не слишком стабилен.
Определение. Условным законом распределения одной из СВ, входящих в систему ( X, Y ), называ - ется ЗР СВ Y при условии, что или ЗР СВ Х при условии, что . По теореме умножения вероятностей зависимых событий P(AB) = P(A)*P(B / A). Отсюда Аналогично:
Например, Найдем условные законы распределения и условные математические ожидания.
При Х = Тогда условный закон распределения СВ Y при будет: Y 0 0,2 0,5 Математическое ожидание:
При Y 0 0,2 0,5
При Y 0 0,2 0,5
При X 0,1 0,2 0,4 M(X/Y=0) = и т. д.
Определение. Случайные величины Х и Y, образующие систему, называются независимыми, если З.Р. одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая С. В. Необходимым и достаточным условием независимости дискретных С.В. Х и Y является равенство: ( i = 1, …, n; j = 1, …, m). В нашем примере Проверим, выполняется ли условие независимости для С. В. Х и Y.
Следовательно, С. В. Х и Y зависимы.
