Определение. Нормальным называется распределение НСВ, плотность распределения вероятностей которой задается функцией x € R ЗНР имеет два параметра: матем. ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Иными словами: Закон нормального распределения (ЗНР)
M(X) = ∫ xf(x)dx = a; ∞ -∞ D(X) = ∫ x 2 f(x)dx – a 2 = σ 2. ∞ -∞ Интегральная функция распределения имеет вид: F(x) = ∫ f(x)dx = x -∞ Графиком дифференциальной функции нор - мального распределения f ( x ) является нормаль - ная кривая или кривая Гаусса.
Свойства функции f ( x ) y = 1. x € (-∞;∞); 2. lim f ( x ) = 0; x + ∞ ось Ox – г оризонтальная асимптота 3. y′ = ; y′ = 0 x 0 = a x a y′ > 0 y′ < 0 max
y max = f(a) = 4. График y = f ( x ) симметричен относительно прямой x = a. 5. Точки x = a + σ – абсциссы точек перегиба графика f ( x ) y перег. =
0 x f(x) a a-σ a+σ При a = 0, σ = 1 кривую нормального распре - деления называют нормированной кривой и f(x) = φ(x) =
0 x φ(x) a Теоремы о нормально распределенной НСВ Теорема 1. Вероятность того, что нормально рас - пределенная НСВ Х примет значения из интер - вала ( c ; d ), равна:
P ( c ≤ X ≤ d ) = ( Φ ( ) - Φ ( ) ) Теорема 2. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения НСВ Х от ее матем. o жи - дания не превзойдет α (α > 0), равна: P( X – M(X) < α ) = Φ ( ) Следствие из теоремы 2 (правило трех сигм). Если НСВ Х распределена нормально, то абсо - лютная величина ее отклонения от математи - ческого ожидания не превосходит утроенного
среднего квадратического отклонения: P ( X – M ( X ) < 3σ ) = Φ ( ) = Φ ( 3 ) = 0.9973 ≈ 1 или P ( X – M(X) < 3 σ ) ≈ 1. Пример. НСВ Х, подчиненная ЗНР, имеет матем. ожидание, равное 100 м, и среднее ква - дратическое отклонение 5 м. С вероятностью 0.9973 определить границы распределения СВ Х.
Дано: а =100, σ =5 P= 0,9973 c ≤ X ≤ d c, d - ? По теореме 2: P( X – M(X) < α )= Φ ( ) = 0.9973 Φ( ) = Φ(3) = 3 Отсюда α = 3σ = 3 * 5 = 15. Так как Х – а ≤ α, то Х – 100 ≤ 15 или - 15 ≤ Х – 100 ≤ 15, 100 – 15 ≤ Х ≤ 100 + 15 ; 85 ≤ Х ≤ 115. Нормальное распределение СВ возникает в тех случаях, когда:
(*Из пункта ведётся стрельба из орудия вдоль прямой. Предполагается, что дальность полёта распределена нормально с математическим ожиданием 1000 м и средним квадратическим отклонением 5 м. Определить (в процентах) сколько снарядов упадёт с перелётом от 5 до 70м *) Clear[a1, b1, a, b, s, x] s = 5 a = 1000 a1 = 1005 b1 = 1070 p = (1/(Sqrt[2*Pi]*s))*Exp[-(x - a)^2/(2*s^2)] NIntegrate[p, {x, a1, b1}]
(* Диаметр подшипников, изготовленные на заводе, представляет собой случайную величину,распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1,4 до 1,6 см. *) Clear[a1, b1, a, b, s, x] s = 0.04 a = 1.5 a1 = 1.4 b1 = 1.6 p = (1/(Sqrt[2*Pi]*s))*Exp[-(x - a)^2/(2*s^2)] NIntegrate[p, {x, a1, b1}]
1) варьирование СВ обусловлено воздействием большого числа факторов; 2) эти факторы независимы и заданы произ - вольными распределениями; 3) отсутствует доминирующий фактор, т.е. ни один фактор по своему воздействию на СВ не преобладает над остальными. Центральная предельная теорема Ляпунова Теорема. При выполнении общих условий, таких как: X j – M ( X ) < δ, D(X j ) ≤ C, C = const, ( j = 1, N )
сумма N независимых СВ, заданных произ - вольными распределениями, по мере возрас - тания числа N стремится к нормальному. Биномиальное распределение Если дискретная СВ Х – число наступлений со - бытия А в n независимых испытаниях, проводи - мых в одинаковых условиях с одной и той же вероятностью события А в каждом испытании, то эта СВ Х распределена по биномиальному закону. СВ Х, распределенная по биномиальному зако - ну, принимает значения 0, 1, 2, 3, …, n с вероят -
ностями m n P n,m = C p m q n-m Матем. ожидание этой СВ: M ( X ) = np Дисперсия: D ( X ) = npq Распределение Пуассона ДСВ Х распределена по закону Пуассона, если она принимает счетное множество значений: 0, 1, 2,…, n,... с вероятностями:
P m = a m * Если СВ Х – число наступлений события А с вероятностью p 0 в n испытаниях, когда число испытаний n велико, т.е. n ∞, то биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона с параметром а, где a = np = const Так как число испытаний велико, а вероятность события А очень мала, близка к нулю, то иног - да закон Пуассона называют законом редких явлений.
Распределение Пуассона применяется, когда n порядка нескольких сотен и больше, а 1≤ np ≤ 10. Задача. Вероятность того, что студент женится на первом курсе, равна 0.00 2. Найти вероятность того что из 500 студентов на первом курсе женятся 6 студентов. Дано: n =500 p = 0,00 2 m = 6 P m = ? a = np = 500 * 0,002 = 1 P m = a m * = 1 6 * = = 0,00051
Если СВ Х распределена по закону Пуассона, то M(X) = D(X) = np = a Простейший поток событий О пределение. Последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени, называется потоком событий. О пределение. Поток событий называется про - стейшим, если он обладает свойствами стаци - онарности, отсутствия последействия и ординарности. 1. Свойство стационарности означает, что вероятность появления k событий за проме-
жуток времени Δ t зависит только от числа k и от промежутка Δ t, и не зависит от момента t начала этого промежутка. 2. Свойство отсутствия последействия означает, что вероятность появления k событий за проме - жуток времени ( t, t +Δ t ) не зависит от то го, сколь- ко событий произошло до момента t. 3. Свойство ординарности означает, что за малый промежуток времени практически невозможно появление двух или более событий в потоке. О пределение. Среднее число появлений событий за промежуток времени называется интенсив но -
стью потока и обозначается λ. Тогда - средний промежуток времени между двумя последовательными событиями в простейшем потоке. СВ Х – число появлений событий в простейшем потоке за промежуток времени t имеет распределение Пуассона с параметром a = λ t У словие возникновения простейшего потока (Хинчин): Сумма большого числа независимых стацио -
нарных потоков, каждый из которых мало влияет на сумму, образует поток, близкий к простейшему. Задача. Интенсивность звонков на станцию скорой помощи – 2 звонка в минуту. Найти вероятность того, что за 3 минуты: а) будет 5 звонков; б) ни одного звонка; в) хотя бы один звонок. Дано: λ = 2, t = 3, P = ? Решение: a = λ t = 2∙3 = 6. a) =0,9975.
Равномерное распределение Определение. НСВ Х имеет равномерное распределение на отрезке [ a ; b ], если ее плотность распределения C при х € [ a ; b ], где С = const f (x) = 0 при х € [ a ; b ]. По свойству плотности распределения f ( x ): ∫ f ( x ) dx = 1 ∞ - ∞ ∞ - ∞ ∫ f ( x ) dx = - ∞ a ∫ f ( x ) dx a b +∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx= ∞ b
= ∫ 0dx + - ∞ a a b ∫ Cdx + ∞ b ∫ 0dx = 0 + Cx│+ 0 = a b C(b – a) = 1. Отсюда C = f (x) = при х € [ a ; b ], 0 при х € [ a ; b ].
x f(x) ° ° a b F(x) = P(X < x) = ∫ f(x)dx - ∞ x Если x < a, то F(x) = ∫ 0dx - ∞ x = 0.
Если a < x < b, то F(x)= ∫ f(x)dx +∫ f(x)dx - ∞ a a х = ∫ 0dx +∫ dx - ∞ a a х = 0+ x│ a х = = F(x)= ∫ 0dx +∫ dx +∫ 0dx Если х > b, то - ∞ a b a ∞ b = │ b a F(x) = 0 при x < a, при a ≤ x ≤ b, 1 при x > b.
x F(x) a b 0 1 M(X) = ∫ xf(x)dx = a b ∫ dx = a b • │ a b = D(X)= ∫ x 2 f(x)dx –(M(X)) 2 a b =∫ dx - = a b Теорема. Вероятность того, что СВ Х, равномерно распределенная на отрезке [ a ; b ], примет значения,
не меньшие α, но не большие β (причем [ α;β ] € [ a ; b ] ), равна: P ( α ≤ X ≤ β ) = Равномерное распределение имеет СВ Х : - показание прибора, имеющего шкалу; - вр е мя ожидания пассажиром автобуса с точным интервалом движения и т. п. Задача. Реклама на канале TV появляется через каждые 15 минут и продолжается в течение 2 мин. Найти вероятность того, что телезритель, включив
в некоторый момент TV, будет смотреть любимый сериал без перерыва на рекламу а) не менее 8, но не более 13 минут; б) не более 3 минут. Дано: а = 0 b = 13 a ) P(8 ≤ X ≤ 13)=? б ) P(0 ≤ X ≤ 3)=? СВ Х – время без рекламы f (x)= P(8 ≤ X ≤ 13)= P(0 ≤ X ≤ 3)=
Задача. Цена деления шкалы прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего деле ния. Найти вероятность того, что при снятии показания прибора будет допущена ошибка изме - рения, не превышающая 0,02. Дано: a = 0 b = 0,1 α = 0 β = 0,02 P(A)=? СВ Х – истинное показание прибора A = { ошибка ≤ 0,02 } f (x) = P(A)= P(0 ≤ X ≤ 0,02)+ P(0,08 ≤ X ≤ 0,1)= 0,2 + 0,2 = 0,4
Показательное распределение Определение. НСВ Х распределена по показа-тельному закону распределения, если плотность ее распределения f (x) = 0 при х < 0, λ e – λx при х ≥ 0, где λ > 0 – параметр показательного распреде - ления. График плотности распределения f ( x ):
х 0 f (x) º λ Математическое ожидание: М(Х) = ∫х f ( x ) dx = 0 ∞ ∫х λ e – λx dx = 0 ∞ - ∫х e – λx d(-λx) = 0 ∞ = - ∫ х d(e –λx ) = 0 ∞ lim( - x e –λx │+ ∫e –λx dx) = 0 b 0 b b ∞
= - lim b ∞ - lim b ∞ (e –λb – 1) = 0 + =. Итак, M ( X ) =, D ( X ) =, σ ( X ) = Интегральная функция показательного распределения СВ Х – функция F ( x ): F(x) = P(X < x) = ∫ f(x)dx. - ∞ x
При х < 0 F ( x ) = 0, При х ≥ 0 F ( x ) = ∫λ e – λx dx - ∞ x = - e – λx │= - ∞ x 1 - e – λx. F ( x ) = 0 при х < 0, 1 - e – λx при х ≥ 0. х 0 F ( x ) 1
Вероятность того, что НСВ Х, распределенная по показательному закону, примет значения из промежутка [ а; b ], равна: P(a ≤ X ≤ b)=F(b)–F(a) = 1 - e –λb –(1- e –λa )= e –λa - e –λb P(a ≤ X ≤ b) = e –λa - e –λb Задача. Среднее время безотказной работы телевизора 8 лет. Найти вероятность того, что вре - мя работы телевизора без ремонта будет не менее 6, но не более 10 лет.
Дано: = 8 λ = а = 6 b = 10 P(6 ≤ X ≤10)=? СВ Х – время безотказной работы - имеет показательное распределение P(a ≤ X ≤ b) = e –λa - e –λb = = e - e = 0,1859 Показательное распределение имеет НСВ Х – промежуток времени между двумя последователь- ными событиями в простейшем потоке, например, промежуток времени между двумя автобусами
одного и того же маршрута, между двумя звонка - ми на станцию скорой помощи, между двумя поломками прибора и т.п. Тогда параметр λ – это интенсивность потока автобусов этого маршрута, интенсивность звонков, интенсивность поломок и т.д. По определению F(x) = P(X < x), то есть вероятность того, что событие произойдет раньше, чем наступит момент времени х. Событие X > x означает, что событие произойдет после наступления момента х, и является
противоположным событию X < x. Поэтому P(X > x) + P(X < x) = 1. Отсюда: P(X > x) = 1 - P(X < x) = 1 – F(x) =1–(1– e –λx ) = e –λx Функция R(x) = 1 – F(x) = e –λx называется функцией надежности, так как R(x) = P(X > x) - это вероятность того, что событие (например, поломка) не произойдет до наступления момента х.
Если λ – интенсивность потока (например, интенсивность поломок), то называется наработкой на отказ. Задача. Интенсивность движения автобуса 30-го маршрута – 4 автобуса в час. Найти вероятность того, что в течение 10 минут к остановке не подой-дет ни один автобус этого маршрута. Дано: λ = 4 авт. / час х = 10 мин. = часа P(X > ) = ? НСВ Х – время ожидания автобуса P ( X > ) = P ( X > х) = R ( x ) P(X > ) = e –λ = e = 0,5134
