Решение задач с помощью диаграмм Эйлера – Венна
Диаграммы Эйлера - Венна Диаграммы Эйлера - Венна — общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки: теории множеств, теории вероятностей, логике, статистике, менеджменте, компьютерных науках. 2
Леонард Эйлер Леонард Эйлер (1707—1783) Швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие многих наук. Эйлер — автор более 850 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. 3
Круги Эйлера При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Например: А – люди В – живые существа С – неживые предметы Леонард Эйлер (1707—1783) 4
Однако, ещё до Эйлера выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц использовал этот метод для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но всё же предпочитал использовать линейные схемы Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646 - 1716) Готфрид Вильгельм Лейбниц 5
Джон Венн Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях британским философа, математика и логика Джона Венна, изложившего их в книге «Символическая логика» в 1881 г. Поэтому такие схемы называют Диаграммы Эйлера — Венна. Венн расширил математическую логику Буля и более всего известен среди математиков и логиков за его схематический способ представления множеств и их объединений и пересечений. Джон Венн (1834—1923) 6
Диаграммы Эйлера - Венна А ∩ В Пересечение множеств А U В Объединение множеств А В 7
А В Диаграммы Эйлера - Венна А | В = А + В – А & В А & В Логическое И Логическое ИЛИ А В Логическое НЕ Х _ Х 8
Диаграммы Эйлера - Венна 1 + 4 = А & В 2 + 4 = А & С 3 + 4 = В & С 4 = А & В & С А В С 1 2 3 4 Пример 9
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет: Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Шахматы ? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Задача 1 Запрос Найдено страниц (в тысячах) Шахматы | Теннис 7770 Теннис 5500 Шахматы & Теннис 1000 10
Ш|Т Ш&Т Ш = (Ш|Т) – Т + (Ш & Т) = 7770 – 5500 + 1000 Ответ: 3270 Запрос Найдено страниц (в тысячах) Шахматы | Теннис 7770 Теннис 5500 Шахматы & Теннис 1000 Решение Ш Т 11
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет: Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Рубин & Динамо & Спартак ? Задача 2 Запрос Найдено страниц (в тысячах) Динамо & Рубин 320 Спартак & Рубин 280 (Динамо | Спартак) & Рубин 430 12
Обозначим области, которые соответствуют каждому запросу: Д 1 Р 2 3 С Ответ: 170 Запрос Области Найдено страниц (в тысячах) Динамо & Рубин 1+2 320 Спартак & Рубин 2+3 280 (Динамо | Спартак) & Рубин 1+2+3 430 Рубин & Динамо & Спартак 2 ? Решение 13
Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент: Задача 3 Ключевое слово Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым сканер 200 принтер 250 монитор 450 14
Ключевое слово Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым сканер 200 принтер 250 монитор 450 Сколько сайтов будет найдено по запросу (принтер | сканер) & монитор если было найдено: по запросу принтер | сканер 450 сайтов, по запросу принтер & монитор – 40, по запросу сканер & монитор – 50? 15
Ответ: 90 Ключевое слово Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым сканер 200 принтер 250 монитор 450 Заметим, что в этом сегменте сети нет сайтов, на которых ключевыми словами являются одновременно принтер и сканер: П & С= 0 (П | С) & М = (П & М) | (С & М) = = 40 + 50 = 90 40 50 Решение 16
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. 1) принтеры & сканеры & продажа 2) принтеры & сканеры 3) принтеры | сканеры 4) принтеры | сканеры | продажа Ответ: 1234 1 2 3 4 1 2 3 4 17
В таблице приведены запросы к поисковому серверу, условно обозначенные буквами от А до Г. Расположите запросы в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Ответ запишите в виде последовательности соответствующих букв. А) Гренландия & Климат & Флора & Фауна Б) Гренландия & Флора В) (Гренландия & Флора) | Фауна Г) Гренландия & Флора & Фауна В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. 1) барокко | (классицизм & ампир) 2) барокко | классицизм 3) (классицизм & ампир) | (барокко & модерн) 4) барокко | ампир | классицизм Задачи для тренировки 18
Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент: Сколько сайтов будет найдено по запросу сомики | меченосцы | гуппи, если по запросу сомики & гуппи было найдено 0 сайтов, по запросу сомики & меченосцы – 20, а по запросу меченосцы & гуппи – 10 ? Ключевое слово Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым сомики 250 меченосцы 200 гуппи 500 Задачи для тренировки 19
В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета: Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Атос & ( Портос | Арамис )? Запрос Количество страниц (тыс.) Атос & Портос 335 Атос & Арамис 235 Атос & Портос & Арамис 120 Задачи для тренировки 20
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет: Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу март & апрель & май ? Запрос Найдено страниц (в тысячах) март & май 472 май & апрель 42 5 май & (март | апрель ) 6 20 Задачи для тренировки 21
АГБВ 4213 920 450 277 Ответы Посмотреть решения Завершить показ 22
Решение 1) 2) А Б В Г 3) 1 2 3 4 АГБВ 4213 С | М | Г = 250 + 200 + 500 – 20 – 10 = 920 920 Ответы 23
4) Решение 5) 1 2 3 Атос & ( Портос | Арамис ) = 1 + 2 + 3 = ? 1 + 2 = 335 2 + 3 = 235 2 = 120 450 277 март & апрель & май = 2 = ? 3 + 2 = 472 2 + 4 = 425 3 + 2 + 4 = 620 Ответы 24
Акимов О.Е., Дискретная математика. Операции логики Буля. Официальный информационный портал ЕГЭ www. ege. edu. ru Преподавание, наука и жизнь. http://kpolyakov.spb.ru http://www.wikiznanie.ru http://ru.wikipedia.org/wiki 25
