Свойства числовых неравенств (8 класс)
Математику нельзя изучать, наблюдая как это делает сосед. А. Нивен
Действительное число а больше ( меньше ) действительного числа в, если их разность (а-в)- положительное ( отрицательное ) число. Пишут: а > в ( а < в ) Такие неравенства называются строгими.
а > 0 означает, что а – положительное число а < 0 означает, что а – отрицательное число а > в означает, что (а-в)- положительное число, т.е. (а-в) > 0 а < в означает, что (а-в)- отрицательное число, т.е. (а-в) < 0
а ≥ 0 означает, что а больше нуля или равно нулю, т.е. а – неотрицательное число, или что а не меньше нуля а ≤ 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю, т.е. а – неположительное число, или что а не больше нуля
а ≥ в означает, что а больше в или равно в, т.е. а-в – неотрицательное число, или что а не меньше в; а-в ≥ 0 а ≤ в означает, что а меньше в или равно в, т.е. а-в – неположительное число, или что а не больше в; а-в ≤ 0
Свойства: 1) если а > в, в > с, то а > с 2) если а > в, то а+с > в+с 3) если а > в и m>0, то а m> в m 4) если а > в и m<0, то а m< в m 5) если а > в, то -а < -в Например: если 5 > 3, 3 > -4, то 5 > -4 если 5 > 3, то 5+2 > 3+2 если 5 > 3 и 10 >0, то 5 · 10 > 3 · 10, т.е. 50 > 30 если 5 > 3 и -2 <0, то 5 · (-2) < 3 · (-1), т.е. -10 < -3 5) если 5 > 3, то -5 < -3
6) если а > в, с >d, то а + с > в + d 7) если а > в > 0 и с >d > 0, то ас > в d 8) если а > в≥0, n є N, то аⁿ > вⁿ 9) если а > в > 0, то 1/а < 1/в 6) если 5 > 3, 4 > 2, то 5 + 4 > 3 + 2, т.е. 7 > 5 7) если 5 > 3 > 0 и 4 > 2 > 0, то 5 · 4 > 3 · 2, т.е. 12 > 6 8) если 5 > 3≥0, 2є N, то 5 ² > 3 ², т.е. 25 > 9 9) если 5 > 3 > 0, то 1/5 < 1/3
Решение: а) 2а ? 2,1 < а < 2,2 2 · 2,1 < 2 а < 2,2 · 2 4,2 < 2а < 4,4 Решение: б) -3в ? 3,7 < в < 3,8 -3 · 3,7 > -3 · в > -3 · 3,8 -11,1 > -3в > - 11,4 - 11,4 < -3в < -11,1
Решение: в) а+в ? Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 < а < 2,2 3,7 < в < 3,8 5,8 < а+в < 6,0 Решение: г) а-в ? 3,7 < в < 3,8. -1 · 3,7 > -1 · в > -1 · 3,8 -3,7 > - в > - 3,8 - 3,8 < - в < -3,7 Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 < а < 2,2 - 3,8 < - в < -3,7 - 1,7 < а - в < - 1,5
Решение: д) а ² Обе части двойного неравенства 2,1 < а < 2,2 положительны, значит (2,1) ² < ( а ) ² < (2,2) ² 4,41 < а ² < 4,84 Решение: е) в ³ Возведем все части неравенства 3,7 < в < 3,8 в куб (3,7) ³ < (в) ³< (3,8) ³ 50,653 < (в) ³< 54,872
Решение: ж) 1/а По свойствам неравенств если а > 0; в > о и а < в, то 1/а > 1/в Значит, если 2,1 < а < 2,2, то 1 : 2,1 > 1 : а > 1 : 2,2 10/21 > 1 : а > 5/11 Т.к. 110/231 > 1 : а > 105/231 105/231 < 1/а < 110/231 5/11 < 1/а < 10/21
