Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Годы Величина показателя Базисная относительная величина Цепная относительная величина 2003 200 100 % - 2004 250 125 % 125 % 2005 300 150 % 120 %
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Цеха (в каждом цехе по 100 работников) Заработная плата по цеху (в у. е.) Цех 1 150 Цех 2 200 Цех 3 250
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Цех Заработная плата по цеху (в у. е.) Количество работающих в цехе (чел.) 1 150 50 2 200 100 3 250 150
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Цех Заработная плата по цеху (в у. е.) Фонд заработной платы (руб.) 1 100 50 00 2 200 30000
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Годы Темпы роста, % 2006 103 2007 105 2008 104 2009 106 1,045 – 1= 0,045 или 4,5 %
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Годы Темпы роста, % 2005 1800 2006 1854 (1854 : 1800 = 1,03) 2007 1947 2008 2025 2009 2147 1,045 – 1= 0,045 или 4,5 %.
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика ∑ ∑
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Производительность труда, изделий в час X i Число работников f i Накопленная частота - F 0-10 10 10 10-20 30 40 20-30 25 65 30-40 20 85 40-50 15 100
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика = 0 = 0
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Тарифный разряд, x i Число работников, чел., f i _ x i – x _ ( x i – x ) 2 _ ( x i - x ) 2 f i 12 1 -3 9 9 13 5 -2 4 20 14 30 -1 1 30 15 60 0 0 0 16 30 1 1 30 17 5 2 4 20 18 1 3 9 9 Итого: 132 - - 118
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика σ 2 ( X - А) = σ 2 X σ 2 ( const ) = 0 σ 2 ( X / K ) = σ 2 X : k 2 σ ( X / K ) = σ X : k
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Регион Средняя по региону (группе) X i Вес, f i Дисперсия по региону (группе), σ i 2 1 3 1 1 2 4 2 1 3 5 3 3 Итого: - 6 общ. = (3∙1 + 4∙2 + 5∙3)/6 = 4,3 α² = (1∙1 + 1∙2 + 3∙3)/6 = 2 σ 2 общ. = δ 2 + α² = 0,56 + 2 = 2,56
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Значение переменной, Х Частота 0 f 1 n – f Итого: n = = (1 – p ) = q Пример. В результате контроля качества из 1000 готовых изделий 20 оказались бракованными. Нужно вычислить дисперсию и стандартное отклонение по данному номинально измеряемому признаку.
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика 1. Кривая распределения симметрична относительно максимальной ординаты: 2. Кривая нормального распределения имеет две точки перегиба 3. В промежутках между: ± σ находится 68,3% всех значений признака ± 2 σ находится 95, 4 % всех значений признака ± 3 σ находится 99, 7 % всех значений признака ± σ
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Для удобства расчетов в эмпирических исследованиях случайные значения распределения нормируются и преобразовываются в стандартизированные значения – так называемые Z -значения или стандартные оценки : Среднее значение нормированной теоретической кривая нормального распределения = 0, стандартное отклонение = 1. Пример. Если величина Х нормально распределена, = 50, σ = 25, то Z для X = 100 будет (100 – 50)/25 = 2, т.е. превышает среднюю на два стандартных отклонения.
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Моменты распределения, порядка Начальные Центральные Условные Первого Второго Третьего Четвертого
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Коэффициент асимметрии А s : Если As > 0,5, то асимметрия считается значительной Если As < 0,35, то асимметрия незначительна =
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Эксцесс Ex : Если Ex = 0, то распределение нормальное Если Ex > 0, то распределение островершинное Если Ex < 0, то распределение плосковершинное При Ex < - 2 статистическая совокупность разнородна
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Бокс-плотс – графическое представление медианы, первого и третьего квартилей, а также минимального и максимального значений признака Пример: дан ранжированный ряд распределения 0 2 2 2 3 3 4 5 5 10 27 Тогда: Х min = 0 X max = 27 Q 1 = 2 Me = 3 Q 3 = 5 Бокс-плот (правосторонняя асимметрия):
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Год Хлеб j=1 Пиво j=2 Кол-во, кг Цена, руб. / кг Кол-во, л Цена, руб. / л 0 3,5 2 20 1,0 1 4,0 3 25 1,2 Вопрос: как изменились расходы на продукты питания в целом? Для этого вводят общую меру - соизмеритель (цена, себестоимость и т.п.) При построении индекса отвечают на следующие три вопроса: 1. Какая величина будет индексируемой? 2. Что будет весом при расчете индекса? 3. По какому составу разнородных элементов необходимо исчислить индекс ?
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Пример: индекс стоимости Вывод: расходы в целом возросли на 55,6%.
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Индекс цен по Ласпейресу : Индекс физического объема по Ласпейресу
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Индекс цен по Пааше : Индекс физического объема по Пааше Взаимосвязь между индексами цен, физического объема и стоимости:
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика В нашем примере:
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика В нашем примере:
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика 1. Произведение рядом стоящих цепных индексов дает базисный индекс: 2. Частное от деления двух рядом стоящих базисных индексов дает цепной индекс: Для сводных индексов эти правила верны только в случае постоянных весов!
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика 3. Индекс структурных сдвигов: где I x – индекс переменного состава, рассчитываемый путём сопо - ставления средних величин I x - индекс постоянного состава, рассчитываемый по постоянной структуре явления
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика 4. Установление иной базы сравнения 2006 2009 2010 Индекс цен 100 110,9 117,0 Индекс цен 100 x Потребительская корзина неизменна (в случае исчисления индекс a стоимости жизни) 5. Построение цепных индексов 1961 1986 1990 Индекс цен 100 122,5 X Индекс цен 100 150,1 Надежность результата изменяется с ростом числа временных периодов и потребительских корзин
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Расчет паритета покупательной способности ППС ППС показывает, сколько иностранной валюты должно быть израсходовано для покупки потребительской корзины, которую внутри страны приобретают на отечественную валюту (в расчете на единицу) Страна Потребление товаров в кг Цены за кг (в соотв. валюте) А В С А В С Страна 1 10 7 14 5 3 4 Страна 2 5 11 13 2 2,5 2 С точки зрения страны 2: Вывод: потребительская корзина по стране 2 стоит в стране 1 на 73% больше, чем в стране 2
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Предприятие Накопленная частота объема совокупности, % Доля рынка, % Накопленная частота объема признака, % 1 20 % 10 % 10 % 2 40 % 10 % 20 % 3 60 % 10 % 30 % 4 80 % 20 % 50 % 5 100 % 50 % 100 % Данные о снабжении рынка предприятиями Y A 100 80 L 60 D 40 20 B 0 20 40 60 80 100 X
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика = 0,36 Пример по немецкому варианту формулы:
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Пример : Индекс Герфиндаля Пример : Индекс Розенблюта Пример :
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Пример : Индекс Линда Пример : i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5 i= 6 i = 7 i = 8 p i 0,4 0,2 0,15 0,1 0,08 0,04 0,02 0,01 A i 0,4 0,6 0,75 0,85 0.93 0,97 0,99 1,00 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 8 L 2 = 1 L 3 = 0,71 L 4 = 0,65 L 5 = 0,56 L 6 = 0,61 L 7 = 0,74 L 8 = 0,95
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Доли хозяйствующих субъектов на рынке услуг наружной рекламы Продавцы Доля на товарном рынке, % Год 1 Год 2 ООО "Курсив" 32 32 ЧП Арабаджи 18 5,6 ООО "Ректайм" 12 24,4 ООО "Фирма АНЖ" 11,5 10,4 ООО "Россерв" 9,5 11,2 АОЗТ "АПР-НН" 3 3,6 ТОО "Арт-студия Клим" 2 1,5 ООО "Росреклама" 2 1,3 Прочие хозяйствующие субъекты 10 10 Всего: 100 100 CR 3 CR 4 CR 6 CR 8 - Коэффициент концентрации в году 1 62 % 73 % 86 % 90 % - Коэффициент концентрации в году 2 68 % 79 % 88 % 90 % Индекс Герфиндаля в году 1: 3*3 + 12*12 + … + 10*10 = 1831,5. Индекс Герфиндаля в году 2: 3,6*3,6 + 24,4*24,4 + … + 10*10 = 1988,26. Вывод: умеренно концентрированный рынок
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Х экстремально позитивная связь сильная негативная связь Х нет связи нелинейная связь (парабола) Х Х
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Основные показатели корреляции: - коэффициент Фехнера - коэффициент ассоциации - коэффициент контингенции - критерий согласия – χ² - коэффициент корреляции рангов - коэффициент корреляции - коэффициент детерминации - корреляционное отношение Для оценки степени интенсивности показателей корреляции используют шкалу Чеддока : Значение показателя корреляции Качественная характеристика силы связи 0,1 - 0,3 слабая 0,3 - 0,5 умеренная 0,5 - 0,7 заметная 0,7 - 0,9 высокая 0,9 - 0,99 весьма высокая
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика где n с – число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средне n н – число несовпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней Пример: Носитель признака Факторный признак X Результативный признак Y 1 5 (+) 5 (+) 2 4 (-) 5 (+) 3 4 (-) 4 (- ) 4 5 (+) 4 (-) 5 5 (+) 3 (-) Вывод: существует слабо выраженная негативная связь между X и Y
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Вывод: существует слабо выраженная позитивная связь между полом и отношением к спорту По номинально измеряемым признакам можно рассчитать лишь коэффициент ассоциации или коэффициент контингенции Существует ли зависимость между двумя качественными признаками – Полом и отношением к спорту? Пример: Участники мероприятия Спортсмены Не спортсмены Мужчины 20 (а) 60 (в) Женщины 15 (с) 80 ( d ) Коэффициент ассоциации: Коэффициент контингенции:
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика где О – эмпирические (фактические) значения признаков Е – теоретические (выровненные) значения признаков Пример: зависит ли частота несчастных случаев от смены? Предварительная гипотеза: связь отсутствует Номер смены Число несчастных случаев Фактическое Теоретически выровненное 1 1 5 2 7 5 3 7 5 Итого: 15 15 Критериальное значение χ² с вероятностью 95% и числом степеней свободы n = 3-1 = 2 : χ² = 5,99 > 4,8 Вывод: различия между О и Е случайны, фактическое распределение не отличается существенно от теоретически выровненного. С 95 % вероятностью можно утверждать, что наша гипотеза верна
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Вывод: существует сильная положительная зависимость между стажем и производительностью где d – разность порядковых номеров (рангов) факторного и результативного признаков; n – число наблюдений Пример : стаж и производительность труда по 5 работникам № работника Стаж Производительность X * Y X ² Y ² d d ² X Ранг Y Ранг 1 1 1 2 1 2 1 4 0 0 2 2 2 4 2 8 4 16 0 0 3 3 3 8 4 24 9 64 -1 1 4 4 4 6 3 24 16 36 1 1 5 5 5 10 5 50 25 100 0 0 Итого 15 30 108 55 220 2
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Вывод: существует сильная положительная зависимость между стажем и производительностью Пример :
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Корреляционное отношение является универсальным показателем корре - ляции и применяется прямо- и –криволинейной зависимости. Коэффициент детерминации – η² Он показывает, какая часть колебаний результативного признака вызвана факторным признаком. В нашем примере 81% изменений в производительности труда вызван влиянием стажа работника. Корреляционное отношение где δ² – межгрупповая дисперсия; σ общ ² – общая дисперсия совокупности
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Для проверки значимости показателей корреляции рассчитывают их ошибки. Средние квадратические ошибки показателей корреляции имеют вид: Показатель корреляции должен в 2–3 раза превосходить ошибку, чтобы с вероятностью 0,95 (0,997) говорить о связи между явлениями. При количестве наблюдений менее 30 (малая выборка) значимость показа- телей корреляции проверяют по t -критерию Стьюдента или z -преобразова - нию Фишера
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Этапы регрессионного анализа: Определение функции (или типа кривой), которая наилучшим образом характеризует нашу зависимость. Такими функциями могут выступать: линейная y = ax +b гиперболическая y = a + b параболическа я y = ax 2 + bx + c степенная y = bx a п оказательная y = b a x логарифмическая y = log a х и другие Выбор кривой осуществляется либо визуально, либо с использованием метода последовательных разностей (для полиномов)
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Этапы регрессионного анализа: 2. Определение параметров (коэффициентов) выбранной функции Предположим линейную зависимость y = ax + b. Для нахождения параметров a и b используют метод наименьших квадратов: Пример:
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Этапы регрессионного анализа: 3. Определение функции регрессии Искомая функция: Тогда теоретические (выровненные) значения производительности
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Этапы регрессионного анализа: 4. Прогноз результативного признака Ограничения прогнозов: - стабильность неучтённых в модели факторов (внешней среды) - средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии При X = 5,5 = 10,5 при X = 6 = 11,4 и т.д.
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Этапы регрессионного анализа: 5. Проверка адекватности модели регрессии Значимость коэффициентов регрессии проводится с помощью t – критерия Стьюдента. Если t расч > t табл, то коэффициент статистически значим при уровне значимости α и числе степеней свободы v = n – k – 1, Для параметров а и b в случае простой парной регрессии имеем: Оценка надёжности модели регрессии проводится с помощью F –критерия Фишера – Снедекора. Для простой парной регрессии имеем: Если F расч > F табл при заданном уровне значимости α, то построенная модель признаётся надёжной и пригодной для аналитических и прогнозных расчётов
Dr. Igor Arzhenovskiy Статистика Этапы регрессионного анализа: 5. Проверка адекватности модели регрессии Оценка средней ошибки аппроксимации Допустима ошибка 12-15 % при заданном уровне значимости α Пример: в полученном уравнении прямой регрессии t a расч = 3,6 > t a табл = 3,18 при α = 0,05, т.е. параметр а статистически значим t b расч = 0,34 < t b табл = 3,18 при α = 0,05, т.е. параметр b статистически незначим F расч = 12,79 > F табл = 10,13 при α = 0,05, т.е. уравнение в целом надёжно и пригодно для дальнейших прогнозов = 16,8 %, т.е. качество модели недостаточно хорошее, что не позволяет надеяться на точный прогноз.
