§1. Неопределенный интеграл и его свойства.
ОПР. Функция называется первообразной для функции на данном промежутке ( a;b ), если для любого x из этого промежутка или Пример. Первообразной для функции на всей числовой оси является так как
Теорема 1.1. Если функция f(x) непрерывна на данном интервале, то на этом интервале она имеет первообразную. Теорема 1.2. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на ( a;b ), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x)+C, где C − постоянная.
где – произвольная постоянная. ОПР. Совокупность всех первообразных для данной функции называется ее неопределенным интегралом и обозначается 1.2. Неопределенный интеграл
Знак называется интегралом, функция – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, Операция нахождения неопределенного интеграла для данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование – операция, обратная операции дифференцирования. – переменной интегрирования.
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: Основные свойства неопределенного интеграла
2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: Таким образом, правильность интегрирования проверяется дифференцированием!
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:
6. Если то где − произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Данное свойство называется инвариантностью неопределенного интеграла.
При вычислении неопределенного интеграла используют формулу:
Вычисление интегралов с помощью преобразования подынтегрального выражения к табличной форме и использования свойств неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием. Вспомогательные сведения
Непосредственное интегрирование Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредствен-ным интегрированием. 1. 3. Основные методы вычисления неопределенных интегралов
При сведении данного интеграла к табличному часто используется следующее преобразование дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала» ). Например:
Метод замены переменной (метод подстановки) состоит в преобразовании интеграла в другой интеграл который вычисляется проще, чем исходный. Интегрирование заменой переменной
Формула где и – дифференцируемые функции, называется формулой интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям целесообразно применять, если более прост в вычислении, чем
Интегралы вида где − многочлен, m − число. Здесь полагают за обозначают остальные сомножители.
2. Интегралы вида Здесь полагают за u обозначают остальные сомножители. 3. Интегралы вида где a и b − числа. За u можно принять функцию
