Замена переменной (метод подстановки) – это метод, заключающийся во введении новой переменной с целью преобразования данного интеграла в табличный.
Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном выражении содержится сложная функция, тогда ее промежуточный аргумент и надо обозначить как новую переменную.
Далее необходимо выполнить следующие действия: Найти дифференциал новой переменной ; Записать прежний интеграл, используя только переменную t, если подстановка сделана правильно, то полученный интеграл должен быть табличным; используя таблицу интегралов, записать решение для подынтегральной функции ; Осуществить обратную подстановку, заменив переменную t.
Подстановка (замена переменной) в определённом интеграле - необходимо выполнить следующие действия: Ввести новую переменную t = t (x); Найти дифференциал новой переменной dt = t′ (x) dx ; вычислить новые значения пределов интегрирования: α = t (a) и β = t (b) Записать прежний интеграл, используя только переменную t и новые пределы α и β ; Используя таблицу интегралов, записать решение для полученной подынтегральной функции; Применив формулу Ньютона-Лейбница, вычислить значение определенного интеграла. Замечание. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу.
Сделаем замену переменной t = sin x, тогда dt = (sin x)′ dx = cos x dx. Исходный интеграл имеет вид: Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция. Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:
Сделав обратную замену, получим окончательный ответ: Ответ:
Решение:
Решение:
Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся в использовании формулы:
Данный метод интегрирования основан на тождестве: где u = f(x) и v = φ (x) - две функции, имеющие на данном промежутке производные. Взяв интеграл от обеих частей данного тождества, будем иметь:
Решение:
Ответ:
Решение: Ответ:
Спасибо за внимание
