Случайные величины
Рассмотрим последовательность n независимых однородных испытаний (экспериментов). Испытания считаем независимыми, если результат испытания не зависит от номера испытания и от того, что произошло до этого испытания. Однородными испытаниями считаем такие, которые проводятся в одинаковых условиях. Пусть в каждом испытании событие А может произойти с вероятностью р
Вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит к -раз:
Пример. Вероятность того, что образец бетона при испытании выдержит нормативную нагрузку, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 7 образцов 5 выдержат испытания. Решение. По формуле Бернулли
Асимптотические формулы. 1. Формула Пуассона. Пусть число испытаний n - велико ( n →∞ ) Вероятность р события А – мала ( р →0 ) Причем Тогда при любом фиксированном к Закон редких событий
Пример 1. Известно, что при транспортировке 2,5% декоративной плитки повреждается. Определить вероятность того, что в партии из 200 плиток оказалось поврежденными: а) ровно 4 плитки; б) не более 6 плиток. Решение. Вероятность того, что плитка окажется поврежденной, р=0.025 – мала, число испытаний n =200 – велик о, причем np=5 <10. По формуле Пуассона: а) б)
2. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний n – велико ( n →∞ ) Вероятность р события А – не очень мала ( 0 << р << 1 ) ( р не близко к 0 и к 1 ) Тогда при любом фиксированном к
3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть число испытаний n – велико ( n→∞ ) Вероятность р события А – не очень мала ( 0 << р << 1 ) ( р не близко к 0 и к 1 ) Тогда вероятность того, что событие А наступит не менее к-раз и не более m -раз, приближенно равна
Пример 2. Завод изготавливает 80% высоконапорных железобетонных труб первого сорта. Определить вероятность того, что из 100 труб 75 будет первого сорта. Решение. n =100 – велико, р=0,8 –не близко к 0 и к 1. По локальной теореме Муавра –Лапласа:
Пример 3. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Производится 100 выстрелов. Норматив считается выполненным, если цель будет поражена не менее 75 раз. Определить вероятность выполнения норматива. Решение. По интегральной теореме Муавра-Лапласа:
Определение. Случайной величиной называется числовая величина (числовая функция), значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. Обозначения: Пример 1. 1. Число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определенного промежутка времени, является случайным и принимает те или иные значения в зависимости от случайных обстоятельств.
Пример 2. Рассмотрим схему Бернулли: последовательность n независимых однородных испытаний, событие А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании. , если при i- ом испытании событие А наступило, и , если оно не наступило. Случайная величина - число наступлений события А в схеме Бернулли.
Дискретная случайная величина – такая случайная величина, которая может принимать конечное или счетное множество значений. Значения непрерывной случайной величины –принадлежат интервалу (конечному или бесконечному).
Пример 3. Рассмотрим схему Бернулли: последовательность n независимых однородных испытаний, А – случайное событие, которое может наступить при каждом испытании. Пусть Х – число наступлений события А. Х= { 0, 1,2,…,п } – дискретная случайная величина. Пример 4. Проводятся независимые однородные испытания до первого появления события А. Пусть ξ – функция, равная числу испытаний, проведенных до первого появления события А. ξ ={0, 1,2,3,… } – дискретная случайная величина. Обзор
Пример 5. Случайным образом бросают точку на отрезок [ а,в ]. Х – координата точки попадания. Х є [ а,в ] – непрерывная случайная величина. Пример 6. Время работы прибора без поломки μ – непрерывная случайная величина. μ є ( 0, ∞ )
Функция распределения и ее свойства. Определение. Функция, равная вероятности того, что случайная величина примет значение меньше х, называется функцией распределения: Свойства. 1. Область определения F(x) : х є ( -∞, ∞). 2. Область значений : 0 ≤ F(x) ≤ 1. 3. Функция F(x) – неубывающая: 4. 5. Вероятность попадания в интервал (а,в):
Определение. Закон распределения дискретной случайной величины – это соответствие между возможными значениями и вероятностями, с которыми эти значения принимает случайная величина. Способы задания: Таблично Графически Аналитически ξ … Р …
Примеры. 1. Биномиальный закон ( в схеме Бернулли ): 2. Равномерное распределение ( в классической схеме ): 3. Распределение Пуассона:
Основное свойство закона распределения: Функция распределения – кусочно- непрерывная функция. График функции распределения – ступенчатая фигура. х 1
Определение. Случайная величина ξ называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) - непрерывная при всех х и имеет почти всюду производную F ' (x)=f(x). В этом случае функция f(x) называется плотностью распределения вероятности. Замечания. В некоторых учебниках такие случайные величины называют абсолютно непрерывными. Если F(x) - непрерывная и не дифференцируемая функция, то в этом случае случайную величину называют сингулярной.
1. 2. 3. 4.
Пример. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ – координата точки попадания. Найти функцию распределения F(x) и плотность f(x). Решение. Из определения: Обзор
1 1 0 1 1 0
Математическое ожидание. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины ξ называется число, равное
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины ξ называется число, равное
Свойства математического ожидания. 1. 2. 3. 4.
Пример 1. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ – координата точки попадания. Найти математическое ожидание Решение. Из определения:
Дисперсия случайной величины. Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания :
Свойства дисперсии. 1. 2. 3. 4. Следствие.
Доказательство.
Среднеквадратическое отклонение случайной величины. Определение. Среднеквадратическим отклонением случайной величины ξ называется число Свойства. 1. 2.
Пример 2. Случайным образом бросают точку на отрезок [ 0,1 ]. ξ – координата точки попадания. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Решение. Из формулы:
ξ =(число «успехов» при n испытаниях в схеме Бернулли). Закон распределения: Пример
ξ =(0,1,2,…, n,… ) Закон распределения:
ξ =(0,1,2,…, n,… ) Закон распределения: Пример
Плотность распределения: Функция распределения: 1 b b a a Пример
Плотность распределения: Функция распределения: 0 1 0
Определение. Непрерывная случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и σ, если плотность распределения Вероятностный смысл параметров:
График плотности распределения. Нормированное распределение. Кривая Гаусса х
Функция распределения.
Вероятность попадания в интервал. Следствие: (вероятность отклонения ξ от а не более чем на ε )
Правило «3 σ ». Практически достоверно, что
Пример. Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта - случайная величина, распределенная по нормальному закону. Если стандартная длина – 40 см, а среднеквадратическое отклонение – 0,4 см, то какое отклонение длины изделия от стандарта можно ожидать с вероятностью 0,8 ? Решение.
