Тышкевич Владимир Николаевич, к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Механика » « Чертёж является языком техника…» ( Гаспар Монж ) «Если чертёж является языком техника, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как она учит нас читать чужие и выражать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками, как элементами всякого изображения» (В.И. Курдюмов ) Лекция № 14 Волжский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Волгоградский государственный технический университет» Курс лекций по начертательной геометрии и инженерной графике 7. развертки
7. Р А З В Е Р Т К И Поверхность называется развертывающейся, если её она путём изгибания может быть совмещена с плоскостью без складок и разрывов. Развертка - плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью. В и д ы Р а з в ё р т о к Т о ч н ы е Имеют только многогранники У с л о в н ы е Для неразвертывающихся поверхностей. Поверхность мысленно делят на отдельные сектора и затем для каждого сектора строят развертку. П р и б л и ж ё н н ы е Для криволинейных развертываемых поверхностей (линейчатых с одной направляющей). Построение - методом аппроксимации, т.е. заменой многогранной поверхностью.
Способы построения р а з в ё р т о к Триангуляции (треугольников) Для пирамидальных и конических поверхностей. раскатки Нормального сечения Для цилиндрических и призматических поверхностей, если образующие этих поверхностей - линии уровня
Разверткой поверхности прямой призмы является многоугольник с истинными размерами ребер-сторон.
Разверткой поверхности конуса вращения является сектор круга радиусом R = l, где l – образующая, Угол α = 180 ºD/l, где D – диаметр окружности основания.
Разверткой поверхности конуса вращения является сектор круга радиусом R = l, где l – образующая, α = 2π r / l - угол сектора, r – радиус окружности основания поверхности.
Способ Триангуляции (треугольников) Для пирамидальных и конических поверхностей. Пример: Построить развертку пирамиды ABCS Данная развертка будет представлять собой плоскую фигуру, состоящую из четырех треугольников. Решение задачи сводится к определению истинных величин треугольников – граней пирамиды. Основание пирамиды располагается в горизонтальной плоскости проекций, поэтому горизонтальная проекция основания есть его истинная величина, т.е. АВ = А 1 В 1, ВС = В 1 С 1, АС = А 1 С 1.
Для определения истинных величин боковых ребер воспользуемся способом прямоугольного треугольника. Так как разности высот вершины S и концов ребер А, В, и С равны, то построим прямоугольные треугольники с общим катетом S ′S 0 (разность высот). В качестве вторых катетов будем последовательно откладывать горизонтальные проекции отрезков S 1 А 1 = S 0 А 0, S 0 В 0 = S 1 В 1, S 0 С 0 = S 1 C 1. Полученные точки А 0, В 0, С 0 соединим с S ′ и получим истинные величины боковых ребер. Такие построения называют диаграммой истинных величин ребер.
Для построения развертки на свободном месте чертежа проведем линию S А= S ′А 0, и последовательно построим все грани пирамиды. При этом используем метод построения треугольников по трем сторонам.
Иная последовательность построения точек на развертке. Алгоритм нахождения на развертке точки принадлежащей поверхности пирамиды.
Истинная величина ребер определяется вращением вокруг проецирующей оси
Для построения развертки конической поверхности применяем метод аппроксимации, т. е. вписываем в эту поверхность или описываем вокруг нее пирамидальную поверхность, причем, чем больше граней, тем точнее получится приближенная развертка. Пример: Построить приближенную развертку конической поверхности, заданную направляющей n и вершиной S На направляющей возьмем ряд точек и заменим коническую поверхность пирамидальной. Так как направляющая находится в горизонтальной плоскости проекций, горизонтальная проекция n 1 = n (истинная величина), а следовательно дуги 1 1 2 1 = 12, 2 1 3 1 = 23, 3 1 4 1 = 34, 4 1 5 1 = 45. Как и в первом случае остается определить истинную величину боковых ребер (образующих). Подобно предыдущему примеру изобразим диаграмму истинных величин ребер и построим развертку, при этом точки 1, 2, 3, 4 и 5 соединим плавной кривой
Разверткой поверхности цилиндра вращения является прямоугольник, у которого одна сторона равна длине окружности π D, а другая длине образующей.
Способ Нормального сечения Для цилиндрических и призматических поверхностей, если образующие этих поверхностей - линии уровня Сущность данного способа заключается в том, что поверхность пересекают плоскостью, перпендикулярной образующим, определяют методом замены плоскостей истинную величину нормального сечения, а затем разворачивают его в прямую линию и строят развертку. Пример: Построить развертку призмы АВСА'В'С' Образующие призмы - фронтали. Призму пересекаем плоскостью Г(Г 2 ), перпендикулярной ребрам АА', ВВ', СС' Определяем методом замены плоскостей проекций (вводим новую плоскость П 4 параллельно плоскости Г) истинную величину нормального сечения 123 (1 4 2 4 3 4 ).
На свободном поле чертежа проводим горизонтальную прямую и последовательно откладываем на ней отрезки 12=1 4 2 4, 23=2 4 3 4, 31= 3 4 1 4. Из точек 1,2 и 3 строим перпендикулярные линии 1-1 прямые. На вертикальных прямых вверх и вниз от точек 1,2,3 откладываем участки фронтальных проекций боковых ребер, учитывая, что боковые ребра фронтали (фронтальные проекции – истинные величины). Например: вверх участки ребер, которые находятся справа от сечения, а вниз – слева от сечения.
Построение развертки поверхности трехгранной наклонной призмы способом нормального сечения.
Пример: Построить развертку цилиндрической поверхности Применяя метод аппроксимации, заменим цилиндрическую поверхность призматической. Так как поверхность симметрична относительно плоскости параллельной П 2, то достаточно построить половину развертки и затем ее зеркально отобразить. В основании поверхности лежит окружность, поделим половину окружности на 6 равных частей и впишем призму, построим фронтальные проекции образующих, проходящих через точки 1-6. Пересечем призму плоскостью Г перпендикулярной образующим ( фронтали ), затем методом замены плоскостей проекций определим истинную величину сечения 1 4 – 6 4. На свободном поле чертежа строим развертку аналогично предыдущему примеру. Отличием в построении будет то, что полученные точки соединяем плавной кривой. Чтобы получить полную развертку, необходимо зеркально отобразить ее относительно шестой образующей.
Способ раскатки Способ раскатки применяется для построения разверток цилиндрических и призматических поверхностей, если образующими и направляющими этих поверхностей являются линии уровня. Сущность данного способа заключается в том, что поверхность вращением каждой следующей образующей вокруг предыдущей совмещается с одной из плоскостей или раскатывается в плоскую фигуру. Пример : Построить развертку призмы АВСА'В'С'. Образующие призмы - фронтали, а направляющая - горизонталь. Следовательно фронтальные проекции боковых ребер А 2 А 2 ',В 2 В 2 ' и С 2 С 2 ' равны соответственно АА', ВВ' и СС', а горизонтальные проекции ребер, образующих основание А 1 В 1, В 1 С 1, и С 1 А 1 равны соответственно АВ, ВС и С А. Примем за первую ось вращения ребро СС' (С 2 С 2 ') и вращением вокруг него совместим грань СС'АА' с плоскостью параллельной П 2.
Для этого строим лучи из точек А 2, В 2, С 2 перпендикулярно фронтальным проекциям А 2 А 2 ', В 2 В 2 ' и С 2 С 2 '. Из точки С 2, как из центра проводим дугу окружности, радиусом равным С 1 А 1 до пересечения с лучом, выходящим из точки А 2. Соединим точки С 2 и А и строим прямую С 2 'А', параллельную С 2 А. Аналогично вращаем ребро ВВ' (В 2 В 2 ') вокруг ребра АА' и ребро СС' (С 2 С 2 ') вокруг ребра ВВ'. В результате получим боковую развертку поверхности призмы.
Ось вращения
Построение развертки поверхности наклонной трехгранной призмы способом раскатки.
Пример: Построить развертку цилиндрической поверхности. Образующие поверхности - фронтали, а направляющая лежит в горизонтальной плоскости проекций. Применяя метод аппроксимации, заменим цилиндрическую поверхность призмой. Для этого основание (окружность) поделим на 12 равных частей. Так как поверхность симметрична относительно плоскости параллельной П 2, рассмотрим построение развертки половины поверхности. Примем за первую ось вращения ребро 00' (0 2 0 2 ') и вращением вокруг него совместим грань 00'11' с плоскостью параллельной П 2. Все построения выполняем аналогично предыдущему примеру.
Условные развертки Строятся для не развертывающихся поверхностей. Сущность этого метода заключается в том, что поверхность мысленно пересекают плоскостями, проходящими через меридианы или параллели, и делят ее на ряд конических или цилиндрических поверхностей. Пример: Построить развертку сферы Разделим сферу с помощью меридианальных плоскостей на шесть равных секторов. Каждый сектор будем рассматривать как цилиндрическую поверхность, у которой образующая меняется от 0 до некоторого максимального значения и затем опять до 0. В качестве образующей принимают касательную, построенную к дуге параллели. В каждом секторе строим нулевой или средний меридиан. Для первого сектора это главный меридиан. Строим развертку методом нормального сечения. Поделим фронтальную проекцию главного меридиана на 6 равных частей и обозначим точки А 2, А 2 ', В 2, В 2 ', С 2, С 2 ' и D 2. На свободном поле чертежа проведем горизонтальную прямую и выберем на ней произвольную точку D. Через точку D 2 построим перпендикуляр к прямой и на этом перпендикуляре вверх и вниз отложим хорды D С = D 2 С 2, D С' = D 2 С' 2, СВ = С 2 В 2, С'В' = С' 2 В' 2, ВА = В 2 А 2 и В'А' = В' 2 А' 2 (нормальное сечение).
Через полученные точки А, А', В, В', С, С' и D проведем горизонтальные прямые и вправо и влево будем откладывать отрезки полукасательных, построенных в точках В 1, В' 1, С 1, С' 1 и D 1 к горизонтальным проекциям параллелей. Длины отрезков определены граничными меридианами первого сектора. Концы отрезков соединим плавной кривой, и получим развертку первого сектора. Так как мы делили поверхность на шесть равных частей, то остальные сектора будут иметь аналогичные развертки. Для того чтобы определить на развертке положение точки М, принадлежащей поверхности, прежде всего необходимо найти с помощью параллели горизонтальную проекцию точки М (М 1 ). Горизонтальная проекция точки укажет, в каком секторе поверхности будет находиться точка. На рис. точка М находится во втором секторе. На развертке положение точки определяют с помощью двух координат по меридиану и параллели.
Условная развёртка тора
Развёртку конуса вращения с криволинейной образующей получаем разбивкой на ряд описанных конусов. Точные развертки этих получаем, используя формулы углов соответствующих секторов: α = 2 π r/R, где r принимает значения r 1, r 2, r 3 ; R принимает значения S¹C, S²C, S²B, S³B, S³A
