Урок по статистике Структурные средние: мода, медиана
«Статистика знает всё», - утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе «Двенадцать стульев» и продолжали : «Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики... Известно, сколько в стране охотников, балерин... станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок... Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..»
1. Средние в статистике - это … 2. Виды средних … : Средняя арифметическая простая Средняя арифметическая взвешенная Средняя гармоническая взвешенная Актуализация опорных знаний
3. Найти средние : д.е. Решение Определите среднюю годовую процентную ставк у. Задача 1. В течение месяца в девяти контрольных точках на водоемах города производился забор проб воды для оценки соответствия санитарно-гигиеническим нормам. Ниже приведен ранжированный ряд распределения контрольных точек по проценту проб воды, не отвечающих санитарно-гигиеническим нормам: № точки забора 1 2 3 4 5 6 7 8 9 % проб, не отвечающих нормам 11 7 8 8 11 11 12 9 10 =(11+7+8+8+11+11+12+9+10)/9=87/9=9,7%
Наименование Хлеб «Бородинский» Хлеб «Формовой» Объем продажи (кг) 100 150 Цена (тенге) 80 60 Задача 2. На основе приведенных данных вычислить среднюю цену хлеба. д.е. Решение
Номера цехов 1 2 3 4 5 6 7 Расход ткани на все изделия, м 150 126 261 200 250 260 420 Расход ткани на одно изделие, м 0,6 0,7 0,9 0,4 0,5 1,3 1,4 Задача 3. По семи цехам швейной фабрики имеются данные о расходовании ткани на производство продукции. м Определить расход ткани на одно изделие в среднем по фабрике. Решение
Когда нужно и не нужно среднее арифметическое? (варианты ответов студентов): Сравнение уровня зарплат в различных отраслях экономики, температуру и уровень осадков на одной и той же территории за сопоставимые периоды времени, урожайность выращиваемых культур в разных географических регионах и т. д. Вычисление средних трат в семье на продукты, средней урожайности картофеля на огороде, средних расходов на продукты, чтобы понять, как поступать в следующий раз, чтобы не было большого перерасхода, средней оценки за семестр – по ней поставят оценку за год. НО ! Нет смысла вычислять среднюю зарплату моей мамы и главы администрации президента, среднюю температуру здорового и больного человека, средний размер обуви у меня и у моего брата.
Модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Можно сказать, что данное число самое «модное» в этом ряду. Такой показатель, как мода, используется не только для числовых данных. Если, например, опросить большую группу студентов, какая из дисциплин им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется та дисциплина, которую будут называть чаще остальных. Оценки за семестр по статистике: 4,5,5,4,4,4,4,5,5,4,5,5,4,5,5,5,5,5,5. Получилось: « 5 » - 7, « 4 » - 5, « 3 » - 0, « 2 » - 0 Мода равна 5. Но мода бывает не одна, например, по статистике в октябре у студентки были такие оценки – 4,4,5,4,4,3,5,5,5. Мод здесь две – 4 и 5 Мода – показатель, широко используемый в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т. п., предварительно изучается спрос и выявляется мода – наиболее часто встречающийся заказ. .
Когда нужна мода? ( варианты ответов студентов ) Мода применяется в тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака. Если надо, например, узнать наиболее распространенный размер заработной платы на предприятии, цену на рынке, по которой было продано наибольшее количество товаров, самый популярный фасон и размер одежды, обуви, размер бутылки сока, пачки чипсов, пользующийся наибольшим спросом у потребителей, и т.д., в этих случаях прибегают к моде.
Нахождение моды далеко не всегда позволяет делать надежные выводы на основе статистических данных. Еще одной из важных статистических характеристик ряда данных является его медиана. Обычно медиану ищут в случае, когда числа в ряду являются какими-либо показателями и надо найти, например, человека, показавшего средний результат, фирму со средней годовой прибылью, авиакомпанию, предлагающую средние цены на билеты, и т. д. При анализе результатов, показанных участниками забега на 100 метров, знание медианы позволяет преподавателю физкультуры выделить для участия в соревнованиях группу ребят, показавших результат выше срединного.
Когда нужна и не нужна медиана? ( варианты ответов студентов ) Медиана чаще применяется с другими статистическими характеристиками, но по ней одной можно отбирать результаты, выше или ниже медианы. Пример: в одной и той же больничной палате находится девять человек с температурой 36,6 °С, и один человек, у которого она равна 41 °С. Арифметическое среднее в этом случае равно: (36,6*9+41)/10 = 37,04 °С. Но это вовсе не означает, что каждый из присутствующих болен. Все это наталкивает на мысль, что одной средней часто бывает недостаточно, и именно поэтому в дополнение к ней используется медиана. На выполнение домашнего задания студент тратит в течение недели такое время – 60 мин в понедельник, во вторник 103 мин, в среду 58, в четверг 76, а в пятницу 89 мин. Записав эти числа от меньшего к большему, увидим, что посередине стоит число 76 – это называется медиана.
Исчисление моды и медианы в дискретном и интервальном рядах
Модой называется значение признака (варианта), чаще всего встречающееся в изучаемой совокупности.
В дискретном ряду распределения модой является вариант признака, имеющий наибольшую частоту Пример 1 : Распределение рабочих по тарифному разряду: Разряд 1 2 3 4 5 6 Итого Число рабочих 5 6 18 16 11 9 67 Наибольшее число рабочих ( 18 ) имеют третий разряд. Следовательно, мода для данной совокупности – 3 разряд. Пример 2 : Распределение проданной женской обуви по размерам характеризуется следующим образом: Размер обуви 34 35 36 37 38 39 40 41 Количество проданных пар 8 19 34 108 72 51 6 2 В этом ряду распределения модой является 37 размер (108 проданных пар), т.е. Мо= 37.
Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле: где Х Mo - нижняя граница модального интервала; h Mo - величина модального интервала; f Mo – частота модального интервала; f Mo -1 и f Mo +1 – частота интервала соответственно предшествующего модальному и следующего за ним
Стаж работы, лет Число рабочих, чел. до 2 4 2-4 23 4-6 20 6-8 35 8-10 11 10 и более 7 Итого 100 Пример: Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными. Определить моду интервального ряда распределения.
Решение: В данном примере модальный интервал находится в пределах стажа работы 6-8 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота ( 35 ). Мода интервального ряда составляет
Медиана – это значение признака у единицы совокупности, делящая ранжированный ряд пополам (или стоящая в середине ранжированного ряда).
Разряд Число рабочих Накопленная частота 1 2 3 4 5 6 5 8 18 16 11 10 5 5+8=13 13+18=31 31+16=47 47+11=58 58+10=68 Итого 68 Для нахождения медианы в дискретном ряду строится ряд накопленных частот. Рабочих с 1, 2, 3 разрядом насчитывается 31. Эта величина меньше порядкового номера медианы. Накопленная частота для 4 разряда - 47, т. е. превышает порядковый номер медианы. Отсюда следует, что рабочий, имеющий порядковый номер 34, принадлежит к 4-й тарифной группе. Следовательно, медиана в нашем примере - 4 разряд. В данной совокупности, состоящей из 68 единиц, в середине ранжированного ряда будет находиться 34-й рабочий
Для нахождения медианы в интервальном ряду используют формулу : где М е - медиана; Х 0 - нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого содержит единицу, стоящую в середине ряда); h Me - величина медианного интервала Σ f - сумма частот ряда (численность совокупностей); S Me -1 - накопленная частота предмедианного интервала предшествующего медианному); f Me - частота медианного интервала.
Стаж работы, лет Число рабочих, чел. Накопленные частоты до 2 4 4 2-4 23 4+23=27 4-6 20 27+20=47 6-8 35 47+35=82 8-10 11 82+11=93 10 и более 7 93+7=100 Итого 100 Пример: Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.
Определим медианный интервал. Им считается тот, до которого сумма накопленных частот меньше половины всей численности ряда, а с прибавлением его численности - больше половины. Подсчитаем накопленные итоги частот: 4, 27, 47, 82, 93,100. Середина накопленных частот - 100/2 = 50. Сумма первых трех меньше половины (47 < 50), а если прибавить 35 - больше половины численности совокупности (82 > 50). Следовательно, медианным является интервал 6-8. Определим медиану:
Обобщение изученного материала Далеко не всегда имеет смысл вычислять все характеристики, т.к. во многих ситуациях какая-то характеристика может не иметь никакого содержательного смысла
Пример 1. На спартакиаде колледжа проводится несколько квалификационных забегов на 100 метров, по результатам которых в финал выходит ровно половина от числа всех участников. Перед вами результаты всех спортсменов. Какой результат позволяет пройти в финал? 15,5; 16,8; 21,8; 18,4; 16,2; 32,3; 19,9; 15,5; 14,7; 19,8; 20,5; 15,4. Проранжируем ряд: 14,7; 15,4; 15,5; 15,5; 16,2; 16,8; 18,4; 19,8; 19,9; 20,5; 21,8; 32,3. Найдем все три характеристики. Какая характеристика, по-вашему, самая подходящая? Мо=15,5 Для ответа на вопрос нужно определить медиану
Пример 2. Перед нами ранжированный ряд, представляющий данные о времени дорожно-транспортных происшествий на улицах города в течение одних суток (в виде ч:мин): 0:15, 0:55, 1:20, 3:20, 4:10, 6:30, 7:15, 7:45, 8:40, 9:05, 9:20, 9:40, 10:15, 11:30, 12:10, 12:15, 13:10, 13:50, 14:10, 14:20, 14:25, 15:20, 15:45, 16:20, 16:25, 17:05, 17:30, 17:45, 17:55, 18:05, 18:15, 18:45, 18:50, 19:45, 19:55, 20:30, 20:40, 21:30, 21:45, 22:10, 22:35. Как и для любого ряда, в данном случае мы можем найти среднее арифметическое – оно равно 13:33. Однако вряд ли имеет какой-то смысл утверждение типа «аварии на улицах города происходят в среднем в 13 часов 33 минуты». В то же время, если сгруппировать данные этого ряда в интервалы, можно найти такой временной интервал, когда происходит наибольшее количество ДТП (такую характеристику называют интервальной модой). Получив такую характеристику, соответствующие службы должны серьезно проанализировать, почему именно в этот временной интервал происходит наибольшее количество происшествий, и попытаться устранить их причины.
Немного юмора (высказывания о статистике): Статистика - наука, занимающаяся изготовлением недостоверных фактов из достоверных цифр ( Эван Эсари ) Статистика может доказать что угодно, даже правду ( Ноэл Мойнихан ) Статистика - это наука о том, сколько всего приходится на каждого человека, если бы все делились справедливо. (Константин Мелихан ) Статистики как судебные психиатры – они могут подтвердить правоту обеих сторон ( Фиорелло Да Тардиа ) Не принимай на веру того, что говорит статистика, пока тщательно не изучишь, о чем она умалчивает (Уильям Уотт ) Статистика, пожалуй, это самая божественная из наук. Ведь она переводит любое событие из разряда случайного в разряд закономерного. Для политиков статистика - меч, для бюрократов - щит.
X f 10-20 24 20-30 30 30-40 32 40-50 24 50-60 10 По данным таблиц определить моду и медиану. X f 1 10 2 30 3 40 4 5 5 3 X f 1 10 2 40 3 40 4 5 5 4 X f 100-300 8 300–500 14 500–700 10 700–900 12 900 -1100 10 Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2 Мо =3 Мо = 2;3 Ме = 3 Ме = 2 Мо = 32 Мо = 420 Ме= 31,875 Ме = 571,43
Домашнее задание Задача 1. Возводимая площадь на одного жителя, м 2 /год (по данным исследовании PWC « Global Construction – 2025» Австрия 0,61 Беларусь 0,55 Германия 0,70 Индия 0,60 Испания 0,69 Италия 0,74 Казахстан 0,40 Канада 0,62 Китай 0,73 Кыргызстан 0,16 Норвегия 0,64 Россия 0,49 США 1,07 Узбекистан 0,50 Украина 0,16 Франция 0,57 Чили 0,53 ЮАР 0,49 Южная Корея 0,92 Япония 1,10 Задача 2. Имеется интервальный ряд распределения магазинов по величине торговых площадей. № группы Торговая площадь м 2 Число магазинов I II III IV V 50 – 100 100 – 150 150 – 200 200 – 250 250 – 300 2 6 30 8 4 итог: 50 Вычислить моду и медиану в дискретном и интервальном рядах:
В заключение нашего урока ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы: Что тебе больше сего понравилось? ______________ Что тебе меньше всего понравилось? _____________ Я узнал(а) _____________________________________ Еще я хотел(а) бы узнать ________________________ Подведение итогов
Используемые сайты http://fb.ru/article/108141/mediana-v-statistike-ponyatie-svoystva-i-raschet http://fb.ru/article/108141/mediana-v-statistike-ponyatie-svoystva-i-raschet#image239723 http://ramki-vsem.ru/kliparty-zhivotnye.html http://www.neurosoft.ru/rus/product/book/hrv-2/chapter5.aspx ( http://nirvana.tomsk.ru/dictionary?id=9&word=%EC%E5%E4%E8%E0%ED%E0/ )
Спасибо за внимание! Успехов в приобретении знаний!
