вход
I. Понятие вектора в пространстве II. Коллинеарные векторы III. Компланарные векторы IV. Действия с векторами V. Разложение вектора VI. Базисные задачи Проверь себя Об авторе Помощь в управлении презентацией Выход
Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора – длина отрезка AB. А В M
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы
Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. Равные векторы
Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Противоположные векторы
Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор.
Доказательство
Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример: B А C D A 1 B 1 C 1 D 1
Любые два вектора всегда компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. α если
Доказательство Задачи
Компланарны ли векторы: а) б) Справка Решение Известно, что векторы, и компланарны. Компланарны ли векторы: а) б) Справка Решение
С O A 1 B 1 B A
Сложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение
Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда Свойства сложения
А B C
А B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
А B C
Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B A C D E Пример
C A B D A 1 B 1 C 1 D 1
B А C D A 1 B 1 C 1 D 1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.
B А C D A 1 B 1 C 1 D 1
Вычитание Сложение с противоположным
Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору.
B A Правило трех точек C
Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. А B K
Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору. А B O
Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Справедливые утверждения Вычисление скалярного произведения в координатах Свойства скалярного произведения
скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины
Доказательство
O A B α O B A O B A
1 0. 2 0. 3 0. 4 0. (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон)
По двум неколлинеарным векторам По трем некомпланарным векторам
Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство
O A A 1 B P Пусть коллинеарен. Тогда, где y – некоторое число. Следовательно, т.е. разложен по векторам и.
не коллинеарен ни вектору, ни вектору. Отметим О – произвольную точку. Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -
Если вектор p представлен в виде где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам, и. Числа x, y, z называются коэффициентами разложения. Теорема Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство
С O A B P 1 P 2 P
Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -
Вектор, проведенный в середину отрезка Вектор, проведенный в точку отрезка Вектор, соединяющий середины двух отрезков Вектор, проведенный в центроид треугольника Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда
С A B O Доказательство равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.
С A B O
С A B O m n Доказательство Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п.
С A B O m n
С A B D M N С A B D M N Доказательство равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
С A B D M N
Центроид – точка пересечения медиан треугольника. С O A B M Доказательство равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.
С O A B M K
A B C D O M Доказательство равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.
A B C D O M
C A B D A 1 B 1 C 1 D 1 Доказательство равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.
C A B D A 1 B 1 C 1 D 1
управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку завершение презентации при нажатии кнопки выход переход к следующему слайду возврат к содержанию возврат к подтеме возврат с гиперссылок
Устные вопросы Задача 1. Задача на доказательство Задача 2. Разложение векторов Задача 3. Сложение и вычитание векторов Задача 4. Скалярное произведение
Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны? б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены? в) любые два равных вектора коллинеарны? г) любые два сонаправленных вектора равны? д) е) существуют векторы, и такие, что и не коллинеарны, и не коллинеарны, а и коллинеарны? Ответы
а) ДА б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными) в) ДА г) НЕТ (могут иметь разную длину) д) ДА е) ДА
B А C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 M 2 Решение
B А C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 M 2
Разложите вектор по, и : а) б) в) г) Решение A B C D N
а) б) в) г)
Упростите выражения: а) б) в) г) д) е) Решение
а) б) в) г) д) е)
Вычислить скалярное произведение векторов: C A B D A 1 B 1 C 1 D 1 Решение
C A B D A 1 B 1 C 1 D 1 O 1 Вычислить скалярное произведение векторов: Решение
C A B D A 1 B 1 C 1 D 1 O 1
