Компланарные векторы Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11" Савченко Е.М., учитель математики, МОУ гимназия №, г. Полярные Зори, Мурманской обл.
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c a k
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C Являются ли векторы ВВ 1, О D и ОЕ компланарными? В B 1
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C В B 1 Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными?
B C A 1 B 1 C 1 D 1 Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными? Векторы А 1 D 1, A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1. Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарны. A D
A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны.
№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АА 1, СС 1, ВВ 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.
№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АВ, А D, АА 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.
№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 В 1 В, АС, DD 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.
№355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 А D, CC 1, А 1 B 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. А D, CC 1, А 1 B 1 Векторы не компланарны
Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Если вектор можно разложить по векторам и, т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы, и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности
c = xa + yb Докажем, что векторы компланарны. b О В В 1 А 1 А С ОВ 1 = у ОВ ОА 1 = х ОА Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору. c c a
Если вектор можно разложить по векторам и, т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы, и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности Справедливо и обратное утверждение. Если векторы, и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. c a b c = xa + yb a b c a b
Сложение векторов. Правило треугольника. a a b b a + b АВ + ВС = АС П О В Т О Р И М
Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b a + АВ + А D = АС А В D C П О В Т О Р И М
Сложение векторов. Правило многоугольника. = А O АВ + ВС + С D + DO a c n m c m n a+c+m+n a П О В Т О Р И М
A В С В 1 D Е Правило параллелепипеда. a b c О OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = a + b + c OA + OB + OC = OD из OED из OAE OD =
D В A С B 1 C 1 D 1 №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + А D + АА 1 A 1 = AC 1
В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: D А + DC + DD 1 A 1 = DB 1 B 1
В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = DB 1 B 1 A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 DC + DD 1 + DA
В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = A 1 C B 1 A 1 A + A 1 D 1 + AB + A 1 B 1 A 1 A + A 1 D 1
В A С C 1 D 1 D №35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = BD 1 B 1 B 1 A 1 + BB 1 + BC BA + BB 1 + BC
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где, и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам, и. Числа, и называются коэффициентами разложения. p = xa + yb + zc c x z p y b a x z y
p = xa + yb + zc Докажем, что любой вектор можно представить в виде p b c a p C B P 1 A P P 2 a b c p O По правилу многоугольника ОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р ОР 2 = x OA Р 2 Р 1 = у O В Р 1 Р = z OC ОР = x OA + y OB + z OC p = xa + yb + zc
Если предположить, например, что, то из этого равенства можно найти Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора p = x 1 a + y 1 b + z 1 c p = xa + yb + zc – o = ( x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c Это равенство выполняется только тогда, когда o o o Тогда векторы компланарны. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом.
В A С C 1 D 1 D №359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Разложите вектор BD 1 по векторам BA, ВС и ВВ 1. A 1 B 1 В D 1 = BA + BC + BB 1 По правилу параллелепипеда
В A С C 1 D 1 D №359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A, А 1 В и А 1 D 1. A 1 B 1 В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1 По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 : из А 1 В 1 B = ( В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1 = = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1 = = = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1
