Скалярное произведение векторов Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11" Савченко Е.М., учитель математики, МОУ гимназия №, г. Полярные Зори, Мурманской обл.
Сумма векторов – вектор. Разность векторов – вектор. Произведение вектора на число – вектор. Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скаляр – лат. scale – лестница, шкала. Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a b = a b cos ( ) a b
a b = a b cos 90 0 a b = 0 0 Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю. a b Обратно: если, то векторы и перпендикулярны. a b = 0 a b a b = 0 a b ^ Û Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b = 90 0
a b = a b cos a b Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый. a b > 0 Û a > 0 > 0 a b < 90 0 a b < 90 0
a b = a b cos a b Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой. a b < 0 Û a < 0 < 0 a b > 90 0 a b > 90 0
a b = a b = a b cos 0 0 a b 1 a b = 0 0 Если a b a b = a b cos 180 0 a b -1 a b = 180 0 Если a b = – a b
a a = a a cos a 0 0 1 a a = 0 0 a a = = a 2 Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается a a a a 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a 2 = a 2
D 1 АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Найдите скалярное произведение векторов C B A D C 1 A 1 B 1 a a A 1 O 1 A 1 C 1 BO 1 C 1 B D 1 O 1 B 1 O 1 BA 1 BC 1 D 1 B AC AD B 1 C 1 AC C 1 A 1 O 1 30 0
Все ребра тетраэдра АВС D равны друг другу. Точки М и N – середины ребер А D и ВС. Докажите, что MN AD = 0 B C N A D M
Маленький тест 5 3 2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка На каком расстоянии от плоскости xOy находится точка А(2; -3; 5) I I I I M z y x I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O Oxy 2
5 ; 3. 1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка 4 ; На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3; 4; 0) А Oxy z y x I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O
2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Найти координаты середины отрезка, если концы его имеют координаты и A ( -3; 2 ; -4 ) B(1;-4; 2) C ( - 1 ;-1; -1) C ( ; ; ) - 3 + 1 2 2 2 +(- 4 ) 2 -4 + 2 C ( - 2 ; 1; -1) C ( - 2 ;- 2 ; -2) Проверка
1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ! Проверка Дан квадрат АВС D. Найдите угол между векторами и. 135 0 ; 90 0. 45 0 ; ПОДУМАЙ! АС DA А В С D
Скалярное произведение координатных векторов и : 3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка равно нулю, т.к. угол между векторами прямой k j 1 – 1 0 x y z I I I I I I I I I I I I I I I j k i O
1 ВЕРНО! 2 3 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка Скалярный квадрат вектора равен: 7 i 49 7 1 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. ( 7 i ) 2 = 7 i 2 = 7 2 = 49
2 ВЕРНО! 1 3 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Записать координаты вектора n = – 8 j + i n {-8; 1; 0} n {1;-8; 0} n {1; 0;-8}
3 ВЕРНО! 2 1 ПОДУМАЙ! ПОДУМАЙ! Проверка 50 0 60 0 120 0 m n = –15, m = 5, n = 6. Найдите угол между векторами и, если m n Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой
ПОДУМАЙ! 3 2 1 ПОДУМАЙ! Проверка (3) ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, ребро которого равно 1. Найдите скалярное произведение векторов и. 4; 1. 2; ВЕРНО! А D 1 BC D 1 C B A D C 1 A 1 B 1
