2022 ОДНОРОДНЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
2 2022 ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если – однородная функция нулевой степени, то есть при любом выполняется тождество
3 2022 Аналогичное дифференциальное уравнение называется однородным, если и – однородные функции одной степени, то есть
4 2022 Однородное уравнение можно привести к виду следовательно, с помощью замены оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно и новой функции :
5 2022 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительного неизвестной функции и ее производной. Линейное уравнение имеет вид: где и непрерывные функции переменной в той области, в которой требуется проинтегрировать дифференциальное уравнение.
6 2022 ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ Если, то дифференциальное уравнение называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются:
7 2022 и, интегрируя, получаем При делении на теряется решение, однако оно может быть включено в найденное семейство решении, если.
8 2022 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ Для интегрирования может быть применен метод вариации постоянной. При применении этого сначала интегрируется соответствующее однородное уравнение
9 2022 имея общее решение Пусть является функцией переменной, то есть, тогда где – новая неизвестная функция. Вычислим производную явной функции
10 2022 и подставим в исходное неоднородное дифференциальное уравнение, получим или откуда, интегрируя, находим
11 2022 а, следовательно, где общее решение неоднородного уравнения есть общее решение соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения при
12 2022 Линейное неоднородное уравнение может быть сведено к решению двух уравнений с разделяющимися переменными при помощи подстановки. Тогда уравнение приводится к виду В качестве выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению (частное решение), а функция определяется из уравнения (общее решение). Тогда даст общее решение исходного уравнения.
13 2022 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Уравнение Бернулли называется уравнение вида где – действительное число. Если, то уравнение является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному при помощи подстановки, но его можно решать также постановкой.
14 2022 Записав уравнение в виде находим частное решение уравнения и общее решение уравнения Тогда даст общее решение уравнения Бернулли.
2022 Спасибо за внимание! МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
