Основные понятия Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f ( x ) и ее производные.
Если искомая функция y = f ( x ) есть функция одного независимого переменного, то ДУ называется обыкновенным. Если независимых переменных две или более, то такое ДУ называется ДУ в частных производных.
Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
ДУ 2-го порядка ДУ 1-го порядка
Под ДУ в явной форме понимают ДУ, разрешенное относительно старшей производной: ДУ в не явной форме
называется всякая функция y ( x ), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. Решением или интегралом ДУ Решить или проинтегрировать данное ДУ – значит, найти все его решения.
Общее решение
– независимые произвольные постоянные
получаются частные решения. Замечание: Число произвольных постоянных в точности равно порядку уравнения.
Общее решение Частное решение
ДУ первого порядка имеет вид : Если уравнение можно записать в виде: то его называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Уравнение первого порядка может быть записано также в дифференциальном виде : P(x; y) и Q(x; y) – известные функции. Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, отличающихся друг от друга постоянными величинами.
Например, решением уравнения является функция и вообще любая функция вида Чтобы решение дифференциального уравнения приобрело конкретный смысл, его надо подчинить дополнительным условиям. Условие, что при x = x 0 функция у должна быть равна заданному числу у 0, называют начальным условием и записывают в виде: , а также функция
Общим решением ДУ первого порядка называется функция Функция Каково бы ни было начальное условие у( x 0 ) = у 0 можно найти такое значение постоянной С 0, что функция содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: является решением ДУ при каждом фиксированном значении C. удовлетворяет данному начальному условию. Частным решением ДУ первого порядка называется функция, полученная из общего решения при конкретном значении постоянной С = С 0. Если общее решение ДУ найдено в неявном виде: Ф( x; y; C) = 0, то такое решение называется общим интегралом, уравнение Ф( x; y; С 0 ) = 0 называется частным интегралом.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. С геометрической точки зрения, общее решение ДУ первого порядка есть семейство интегральных кривых на плоскости XOY Например, общее решение ДУ есть семейство парабол: x y 0 Частное решение - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку М(х 0 ; у 0 ) Частное решение, удовлетворяющее начальному условию: у(1) = 2 - это одна парабола, проходящая через точку М(1, 2) с уравнением: Задача отыскания частного решения ДУ, удовлетворяющего заданному начальному условию называется задачей Коши.
Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида: Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Проинтегрировав это уравнение почленно, получим: - общий интеграл ДУ. Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид: (1) (2) Уравнение (2) сводится к уравнению (1) путем почленного деления его на
Получаем: Замечание: при проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение (3) Уравнение и установить те решения, которые не могут быть получены из общего решения – особые решения. также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить
Разделим обе части уравнения на xy : Общий интеграл ДУ Решим уравнение xy = 0 : Его решения: x = 0 и y = 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общее решение, значит это особое решение. Решить задачу Коши: Общее решение ДУ Подставим начальные условия: Частное решение ДУ
ДУ вида приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки: где и – новая неизвестная функция.
Рассмотрим задачу, приводящую к ДУ первого порядка с разделяющимися переменными: Задача: материальная точка массы m замедляет свое движение под воздействием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если V(0) = 100 м / с, V(1) = 50 м / с. Решение: Примем за переменную время t, отсчитываемое от начала замедления точки. Тогда скорость V будет функцией t : V = V(t). Воспользуемся вторым законом Ньютона: В нашем случае - коэффициент пропорциональности
По условию задачи: Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Скорость точки изменяется по закону:
