Лектор: Парахин А.С., к. ф.-м. наук, доцент.
Динамический подход Законы Ньютона позволяют решить любую задачу динамики детально, т.е. установить закон движения материальной точки, что в свою очередь означает узнать положение материальной точки в любой момент времени. Этот подход к решению задач динамики носит название динамического подхода. Иногда это бывает не просто, в связи с тем, что зависимость сил, действующих на материальную точку от координат слишком сложна. С другой стороны это не всегда бывает необходимо.
Часто бывает так, что нужно найти конечное состояние материальной точи, не интересуясь промежуточными. В этом случае можно использовать т.н. энергетический подход к решению задач динамики, использующий понятие кинетической, потенциальной и полной энергии.
Суть этого подхода состоит в следующем. Умножим скалярно второй закон Ньютона на. Величина обозначается и называется элементарной работой, совершаемой равнодействующей всех сил на элементарном перемещении.
Размерность элементарной работы равно произведению размерности силы и перемещения, т.е.. Эта величина называется Джоулем. Т.о.,
В левой части равенства выполним замену, исходя из определения скорости. Тогда из предыдущей формулы следует . Слева выражение преобразуем с учётом равенства и поднесём массу под знак производной, тогда
Величина, стоящая под знаком производной, и называется кинетической энергией материальной точки. Определение. Кинетической энергией называется физическая величина, численно равная половине произведения массы материальной точки на квадрат её скорости.
Используя понятие импульса материальной точки, можно записать
Из определения кинетической энергии следует, что, во-первых, она есть скалярная величина, во-вторых, размерность её есть размерность массы, умноженная на размерность квадрата скорости . Т.о., кинетическая энергия выражается в Джоулях, как и элементарная работа.
С использованием понятия кинетической энергии равенство может быть записано следующим образом Здесь учтено определение дифференциала . Это равенство и называется законом изменения кинетической энергии материальной точки в элементах. Оно гласит: изменение кинетической энергии материальной точи за элементарный промежуток времени равно элементарной работе.
Разделим это равенство на Величина, стоящая справа от равенства обозначается N и называется мощностью всех сил, действующих на материальную точку. Определение. Мощностью силы называется физическая величина, числено равная работе, совершаемой силой за единицу времени.
Из определения мощности следует, что она величина скалярная и измеряется в единицах энергии, делённых на единицу времени,. Эта величина называется Ватт и т.о..
Довольно часто используется устаревшая единица мощности – лошадиная сила. 1 кгс – сила тяжести тела массой 1 кг. 1 кгс=9.81 Н. 1 кгм – работа силы в 1 кгс на расстоянии 1м. 1 л.с. – мощность, при которой за 1 с совершается работа в 75 кгм. Таким образом, 1 л.с.=75∙9.81 Вт = 735. 75 Вт.
С учётом понятия мощности можно записать . Это утверждение называется законом изменения кинетической энергии в дифференциальной форме. Оно гласит. Скорость изменения кинетической энергии материальной точки равна мощности всех сил, действующих на материальную точку.
Проинтегрируем равенство в пределах некоторого промежутка времени от до. Интеграл слева представляет собой изменение кинетической энергии за указанный промежуток времени, интеграл справа есть работа всех сил за этот промежуток времени. Так что .
Это утверждение носит название закона изменения кинетической энергии материальной точки в интегральной форме, т.к. относится оно к отдельному моменту времени, а к целому временному промежутку. Оно гласит: изменение кинетической энергии за некоторый промежуток времени равно работе всех сил, действующих на материальную точку за этот промежуток времени.
Именно в этой форме данный закон и позволяет решать задачи динамики, не вникая в детали движения материальной точки внутри временного промежутка. Для данного закона неважно, как двигалась материальная точка внутри промежутка. Если известна работа, которую совершили силы, и начальная кинетическая энергия, то можно найти и конечную кинетическую энергию.
Определение. Говорят, что в некоторой области пространства задано силовое поле, если каждой точке пространства поставлено в соответствие вектор силы, действующей на тело в данной точке пространства.
Примером силового поля может служить поле силы тяжести. Оно характерно тем, что сила, действующая на тело, направлена всегда вертикально вниз; не зависит от координат тела; пропорциональна его массе. Замечание. Указанное выше свойство силы тяжести – независимость от координат тела – справедливо лишь для случая, когда высота тела не превышает нескольких десятков километров.
Из того факта, что сила тяжести пропорциональна массе тела следует, что ускорение тел, вызываемое силой тяжести, одинаково для всех тел и не зависит от массы. Это ускорение обозначается и называется ускорением свободного падения. Оно всегда направлено вертикально вниз и не зависит от координат в пределах высоты нескольких десятков километров над поверхностью Земли. Несколько зависит от места на поверхности Земли.
Таким образом, силу тяжести можно выразить через ускорение свободного падения
Пусть тело массой перешло из положения 1 в положение 2. Найдём работу силы тяжести при таком перемещении. .
Поскольку ускорение свободного падения не зависит от координат, его можно вынести из-под знака интеграла. Под знаком интеграла останется только дифференциал радиус-вектора материальной точки, интеграл от которого равен перемещению материальной точки из первого положения во второе. .
Т.к. , а , то .
Предположим теперь, что из точки 2 тело переместилось в точку 3. Тогда сила тяжести совершила работу .
Найдём полную работу, совершённую силой тяжести при переходе из положения в положение. Для этого сложим работы на двух участках пути .
Отсюда видно, что данная работа не зависит совсем от координат второй точки. Т.о., работа силы тяжести не зависит от промежуточных точек, а, значит, от формы траектории движения точки, а зависит лишь от начального и конечного её положений.
Определение. Силовые поля, работа сил которых не зависит от формы траектории движения тел, а зависит лишь от начального и конечного их положений, называются потенциальными, а силы, действующие на тела со стороны этих полей, называются консервативными. Таким образом, поле силы тяжести является потенциальным полем.
Предположим, что тело совершило переход из положения 3 в положение 1 через некоторую другую точку 2 ’. Тогда работа, совершённая силой тяжести будет равна .
Найдём полную работу силы тяжести на замкнутом контуре . Это утверждение называется теоремой о работе консервативных сил на замкнутом контуре. Оно гласит: «Работа консервативных сил на замкнутом контуре равна нулю».
Исходя из выражения для работы в поле силы тяжести эту работу можно представить следующим образом . Величина н азывается потенциальной энергией поля силы тяжести. С помощью этой величины работу силы тяжести можно представить следующим образом . Это утверждение гласит: «Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии».
Оно справедливо не только для поля силы тяжести, но и для любых потенциальных полей: «Для потенциальных полей существует такая функция координат, называемая потенциальной энергией, что работа сил этих полей равна убыли потенциальной энергии тел в этих полях». Для разных потенциальных полей потенциальная энергия вычисляется по разным формулам.
1. Скалярная величина. 2. Размерность :.
Пусть материальная точка совершила в некотором потенциальном поле элементарное перемещение. Тогда силы, действующие на неё со стороны поля, совершили элементарную работу . С другой стороны эта работа должна быть равна элементарной убыли потенциальной энергии . Отсюда следует, что
Предположим, что материальная точка двигалась вдоль оси, и координаты и оставались постоянными. Тогда, и Сравнивая это с выражением для элементарной работы, найдём . Откуда находим .
Производные от функций нескольких переменных по одному из аргументов, когда остальные остаются неизменными, называется частной производной и обозначается круглыми буквами. Тогда . Аналогично можно найти другие координаты вектора силы .
Вектор, координаты которого есть частные производные от некоторой функции по координатам, называется градиентом этой функции и обозначается или. Таким образом, все три равенства связи силы и потенциальной энергии можно записать одним векторным или. Это и есть связь между консервативной силой и потенциальной энергией поля.
