Лектор: Парахин А.С., к. ф.-м. наук, доцент.
Согласно формуле скоростей твёрдого тела . Тогда полная кинетическая энергия т.т. может быть представлена следующим образом .
Первое слагаемое справа можно представить следующим образом . Оно представляет собой кинетическую энергию поступательного движения т.т.
Второе слагаемое преобразуем с учётом того факта, что для всех частиц т.т. одинаковыми являются скорости и, их можно вынести за знак суммы
Под знаком суммы согласно определению радиус-вектора центра масс стоит произведение массы всего т.т. на радиус-вектор ц.м. Если в качестве начальной точки выбрать ц.м., то радиус-вектор ц.м. будет равен нулю. В этом случае нужно положить .
В третьем слагаемом снова вынесем угловую скорость за знак суммы, кроме того, учтём, что . Тогда . Это есть кинетическая энергия вращательного движения т.т.
Таким образом, кинетическая энергия т.т. может быть представлена двумя слагаемыми . Это теорема Кёнига. А полная энергия – тремя .
Для движения т.т. справедлив закон изменения и сохранения полной энергии. Отличием от этих законов для материальной точки является только наличие дополнительного слагаемого – кинетической энергии вращательного движения т.т. .
Определение. Удар называется неупругим, если после удара тела движутся вместе. Расчёт неупругого удара основан на законе сохранения импульса: импульс тел д о удара равен импульсу тел после удара.
Пусть – масса и скорость первого тела до удара, – масса и скорость второго тела до удара. Если удар неупругий, после удара тела будут двигаться вместе и скорость у них будет общая. Обозначим её просто Тогда
При неупругом ударе кинетическая энергия тел не сохраняется, её часть переходит в тепло. Progr D: Progr E: Progr F: Progr G: Progr H:
Подставив в это выражение скорость после удара, найдём Таким образом, выделившееся тепло равно кинетической энергии относительного движения тел.
Определение. Упругим ударом называется удар, при котором сохраняется кинетическая энергия тел. Пусть снова – масса и скорость первого тела до удара, – масса и скорость второго тела до удара.
Если удар упругий тела после удара будут двигаться по-отдельности с разными скоростями. Поэтому закон сохранения импульса будет иметь вид: Однако для отыскания двух неизвестных нужно два уравнения. Второе – ЗСКЭ.
В обоих уравнениях перенесём переменные с индексом 1 влево, с индексом 2 – вправо.
Будем считать, что тела движутся вдоль одной прямой. Выберем эту прямую за ось ox и спроецируем на неё закон сохранения импульса:
Вынесем массы за скобки, сократим во втором уравнении на 2 и разделим второе уравнение на первое, предварительно распишем разность квадратов на разность и сумму:
Умножим теперь второе уравнение на массу первого тела и сложим с первым уравнением: Откуда и находим скорость второго тела после удара:
Откуда и находим скорость второго тела после удара: Аналогично:
Если, то Тела меняются скоростями. В частности если скорость второго тела была равна нулю, то после удара остановится первый шар. Progr D: Progr E: Progr F: Progr G: Progr H :
7.1. Кинематика жидкостей и газов. Уравнение непрерывности. Определение. Жидкостью называется система материальных точек, взаимодействие которых таково, что частицы могут перемещаться друг относительно друга, но число частиц в единице объёма жидкости остаётся неизменным. Т.о. жидкость сохраняет свой объём, но не сохраняет своей формы. Она принимает форму сосуда, в который налита.
Определение. Газом называется система материальных точек, взаимодействие между которыми не накладывает ограничений на взаимное перемещение частиц. Газы не сохраняют ни форму, ни объём.
Для характеристики движения газов или жидкостей вводят понятие поля давлений и поля скоростей. Определение. Давлением внутри жидкости или газа называется физическая величина, численно равная силе, действующей на единицу площадки, расположенной перпендикулярно силе. Обозначается давление и по определению .
1. Давление скалярная величина. 2. Размерность. Измеряется давление в единицах силы, делённых на единицу площади. Эта единица называется Паскаль. В общем случае давление зависит от времени и координат:.
Определение. Говорят, что в некотором пространстве задано поле давлений, если каждой точке этой области поставлено в соответствие число, равное давлению в этой точке.
Определение. Говорят, что задано поле скоростей течения жидкости или газа, если каждой точке пространства поставлен в соответствие вектор скорости, указывающий быстроту и направление движения частиц жидкости или газа, находящихся в данной точке пространства. В общем случае поле скоростей зависит и от координат и от времени. .
Если поле скоростей не зависит от времени, оно называется стационарным. Течение в этом случае тоже называется стационарным. Если скорость течения жидкости во всех точках пространства равна нулю, состояние называется статическим.
В процессе течения частицы жидкости или газа описывают некоторую кривую. Определение. Кривая, касательная в каждой точке к которой совпадает по направлению со скоростью течения жидкости или газа в этой точке, называется линией тока жидкости или газа. Для стационарного течения линия тока совпадают с траекториями движения частиц в данной точке.
Выберем в пространстве некоторый контур и через одну из его точек проведём линию тока. Заставим точку обежать весь контур. Пространство, заключённое внутри поверхности, описанной этой линией тока, называется трубкой тока, а сама поверхность называется стенкой трубки тока. Progr D: Progr E: Progr F: Progr G:
Стенка трубки характерна тем, что частицы, находящиеся на ней движутся по касательной к стенке и поэтому не могут её пересечь. Это значит, что зайти внутрь трубки тока или выйти из неё частицы могут только через основание трубки, но не через её стенки.
Отсюда следует, что в стационарном потоке количество частиц, заключённых внутри трубки тока между неподвижными её основаниями, будет оставаться с течением времени величиной постоянной. И наче говоря, сколько частиц внутрь трубки тока войдёт, столько за это же время из неё выйдет через другое основание. Это утверждение выражает закон сохранения числа частиц в потоке.
Пусть за некоторое время частицы, находящиеся вблизи сечения, переместились на некоторое расстояние в новое положение вблизи сечения. За это же время частицы, находящиеся вблизи сечения, переместятся на некоторое расстояние в некоторое новое положение вблизи сечения.
Если концентрация частиц жидкости или газа вблизи сечения равна, число частиц, вошедших внутрь трубки тока, равно. Аналогично можно выразить число частиц, вышедших из трубки через сечение .
Согласно закону сохранения числа частиц количество вошедших и вышедших частиц должно быть одинаково, т.е. Разделим это равенство на общий промежуток времени .
Но отношение пути, пройденного частицами за некоторый промежуток времени к этому промежутку, равно их скорости, так что можно записать . Это утверждение также выражает закон сохранения числа частиц, но в этом виде он называется уравнением непрерывности.
Если массы частиц в потоке не меняются, то можно умножить закон сохранения частиц на массу одной частицы, тогда получится уравнение , которое тоже называется уравнением непрерывности, но выражает уже закон сохранения массы в потоке. Здесь и - плотности жидкости или газа в начале трубки тока и в конце соответственно.
Если жидкость несжимаема, то, и тогда уравнение непрерывности примет вид , Это утверждение называется уравнением непрерывности для несжимаемой жидкости и выражает закон сохранения объёма жидкости. Оно гласит: «Объём жидкости, втекающей внутрь трубки тока за единицу времени, равен объёму жидкости, вытекающей из трубки тока за единицу времени».
Progr D: Progr E: Progr F: Progr G:
Определение. Объём жидкости, протекающий через поперечное сечение трубки тока за единицу времени, называется расходом жидкости. Поэтому уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости можно ещё прочитать так: «Расход несжимаемой жидкости вдоль трубки тока во всех её сечениях одинаков».
Пусть за некоторое время жидкость, находящаяся между сечениями и, сместится так, что сечение переместится на некоторое расстояние и займёт новое положение. Тем самым вне этого объёма жидкости окажутся все частицы, расположенные между сечениями и. В результате выделенная жидкость потеряет всю энергию, которой обладали частицы между сечениями и. Здесь аппликата середины сечения.
За это же время сечения переместятся на некоторое расстояние в некоторое новое положение. Таким образом, выделенный нами объём жидкости приобретёт энергию частиц, находящихся меду сечениями и :
Согласно закону изменения полной энергии, разность между этими энергиями равна работе неконсервативных сил, действующих на частицы. Этими силами являются силы давления со стороны других слоёв жидкости. .
. При этом работа сил давления вблизи первого сечения положительна, т.к. перемещение совпадает по направлению с силой, а работа сил давления вблизи второго сечения отрицательна, т.к. перемещение этого сечения противоположно силам.
Приравнивая изменение полной энергии к работе внешних сил, получим равенство: .
Здесь необходимо отметить, что в балансе энергии не учитывалась тепловая энергия, связанная с изменением плотности жидкости. Поэтому данное уравнение справедливо только для несжимаемой жидкости и не справедливо для газа.
Поэтому положим в предыдущем равенстве . Кроме того, учтём, что для несжимаемой жидкости справедливо уравнение непрерывности, и тогда из закона изменения полной энергии получим . Это утверждение и носит название закона Бернулли.
Прежде, чем сформулировать это утверждение, заметим, что первое слагаемое справа есть плотность кинетической энергии жидкости, второе – плотность потенциальной энергии, а последнее есть давление внутри жидкости. И так, уравнение Бернулли гласит: «Сумма плотности кинетической, потенциальной энергии жидкости и давления внутри жидкости есть величина неизменная вдоль линии тока».
Применим этот закон к явлению вытекания жидкости из отверстия в сосуде. Пусть высота жидкости в сосуд над отверстием, сечение отверстия в сосуде намного меньше площади сечения самого сосуда. Тогда согласно уравнению непрерывности скорость движения уровня в сосуде будет намного меньше скорости истечения из отверстия.
Поэтому скоростью оп ускания уровня жидкости можно будет в уравнении Бернулли пренебречь. Если и верхняя часть сосуда и отверстие сообщаются с атмосферой, то давление на уровне жидкости в сосуде будет равно давлению в отверстии сосуда, т.е. .
Индексом 1 обозначено давление над поверхностью воды, а 2 -в отверстии. Обозначим - скорость истечения жидкости. Тогда согласно закону Бернулли .
Т.к., то для скорости истечения окончательно получаем . Эта формула носит название формулы Торричелли. Она гласит: «Скорость истечения жидкости из малого отверстия в боковой стенке сосуда такая же, как если бы вода падала с высоты равной глубине отверстия».
Уравнение Бернулли применимо не только к движущейся, но также и к покоящейся жидкости. А именно, если скорость течения жидкости равна нулю, то уравнение Бернулли принимает вид. .
Отсюда находим . Это означает, что разность давлений в двух точках покоящейся жидкости пропорциональна разности аппликат этих точек.
В частности, если давление на уровне свободной поверхности жидкости равно атмосферному, а глубина погружения, то давление внутри жидкости на этой глубине будет определяться согласно формуле разности давлений следующим образом . Дополнительное давление, оказываемое столбом жидкости высотой, называется гидростатическим давлением .
Предположим, что внутрь жидкости помещено твёрдое тело в форме куба с ребром. На его стенки будет действовать гидростатическое давление. Но силы давления на боковые стенки будут компенсировать друг друга, т.к. боковые стенки находятся на одинаковой высоте и гидростатическое давление, оказываемое на них, будет одинаковым.
По-другому будет обстоять дело с верхней и нижней гранью. Они находятся на разных глубинах, и гидростатическое давление на них будет разным. Разными будут и силы давления на эти грани. Согласно формуле гидростатического давления разность давлений на нижнюю и верхнюю грани куба будет определяться длиной ребра куба .
Чтобы найти разность сил, действующих на нижнюю и верхнюю грани, нужно умножить разность давлений на площадь этих граней .
Эта разность сил, очевидно, и будет сила, действующая на тело со стороны жидкости. Т.к. большая по модулю из сил и направлена вверх, то и результирующая сила со стороны жидкости на тело будет направлена вверх. Её и называют выталкивающей силой или силой Архимеда. Произведение есть, очевидно, объём тела, поэтому .
Это выражение и называется законом Архимеда. Он гласит: «Выталкивающая сила, действующая на тело со стороны жидкости, равна произведению плотности жидкости, ускорения свободного падения и объёма части тела, по г ружённой в жидкость и направлена в сторону противоположную ускорению свободного падения».
На тело, погружённое в жидкость, кроме выталкивающей силы, действует ещё и сила тяжести. От соотношения этих двух сил и будет зависеть движение тела. А именно, проекция результирующей силы на вертикальную ось будет складываться из проекции выталкивающей силы и проекции силы тяжести. . Т.к., где - плотность тела, то .
Отсюда вытекает условие плавания тел. 1. Если, т.е. тело плотнее жидкости, то результирующая сила направлена вниз, и тело тонет. 2. Если, т.е. жидкость плотнее тела, то результирующая сила направлена вверх, и тело всплывает.
Но оно всплывает до тех пор, пока часть тела не окажется над жидкостью. В этом случае где - объём погружённой части тела, откуда и можно найти этот объём .
3. И, наконец, если, т.е. плотность тела равна плотности жидкости, то результирующая сила, действующая на тело, равна нулю, и тело остаётся в жидкости в т.н. безразличном равновесии. Это означает, что тело может оставаться в покое в любой точке жидкости.
Проведём мысленный эксперимент. По трубе течёт вода. Труба горизонтальна и одинакового сечения. Progr D: Progr E: Progr F: Progr G: Progr H : Согласно закону Бернулли давление во всех точках трубки должно быть одинаковым, а манометрические трубки показывают падение давления в сторону течения жидкости.
Это объясняется наличием трения слоёв жидкости друг о друга и о стенки трубы. Этим вопросом занимался Ньютон. Он пришёл к следующему закону. Progr D: Progr E: Progr F: Progr G: Progr H : . Это закон Ньютона. Здесь – площадь перекрытия слоёв, - разность скоростей движения слоёв, - разность аппликат слоёв.
– коэффициент внутреннего трения. Он показывает, на сколько велика вязкость жидкости.
Если слои бесконечно близкие, то сила находится по закону: Воспользуемся этой формулой для определения расхода жидкости по трубе кругового сечения.
Progr D: Progr E: Progr F: Progr G: Progr H: Если разность давлений по обе стороны трубы обозначить, то сила, проталкивающая жидкость сквозь выделенный цилиндр может быть найдена по формуле:
С другой стороны сила трения, действующая на этот цилиндр равна:
Если течение стационарно, то эти две силы уравновешиваются: Откуда находим элемент скорости: и саму скорость:
Константа находится из начальных условий: на стенках трубы скорость частиц жидкости равна нулю: Откуда и находим константу:
Подставим константу в формулу скорости: Это и есть формула поля скоростей по сечению трубы. Зависимость скорости от расстояния до центра трубы квадратична.
Progr D: Progr E: Progr F: Progr G: Progr H : Выделим бесконечно тонкий цилиндрический слой радиуса. За малое время через сечение этого слоя пройдёт малый объём жидкости Чтоб найти расход через всю трубу, нужно проинтегрировать.
Разделим на время и найдём расход: Эта формула и носит название формулы Пуазейля
Найдём силу, действующую на жидкость со стороны трубы. Для этого из формулы поля скоростей найдём скорость жидкости на оси трубы: Умножим и разделим на
Очевидно есть сила трения, действующая со стороны стенок на жидкость. Так что Откуда Так находится сила трения жидкости о стенки трубы
Аналогично для движения шарика в вязкой среде Стоксом была найдена формула силы трения Она называется формулой Стокса. Эта формула строго применима только к телам шарообразной формы, но приближённо её можно применять и к другим телам, тогда вместо радиуса используется некоторый характерный размер тела.
