Подготовили студентки 3 курса 61 группы Давиденко Анастасия Лавриченко Александра
Историческая справка. Правило суммы. Правило произведения. Основные комбинаторные соединения: Перестановки Размещения Сочетания
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, – возникла в XVII в. Долгое время казалось, что комбинаторика лежит вне основного русла развития математики и ее приложений. Положение изменилось после появления вычислительных машин и связанного с этим расцвета конечной математики. Сейчас комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании, вычислительной математике, биологии, планировании экспериментов, расшифровке кодов ДНК и т.д.
. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами. Если n (А)=а, n (В)= b и А∩В=Ø, то n (А U В)=а+ b. Правило суммы
Пример: В классе 16 девочек и 11 мальчиков. Сколькими способами можно выбрать старосту класса? Правило суммы
Решение : n(A)=16 n(B)= 11
. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами. Если n (А)=а и n (В)= b, то n (А×В)=а b. Правило произведения
Пример : Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое пар туфель. Сколько нарядов может иметь студентка? Правило произведения
Решение : n(A)= 4 n(B)= 5 n( С )= 3
Перестановки Размещения Сочетания
Размещением из k по n называется n - элементное упорядоченное подмножество k - элементного множества
Важен порядок и состав !
Важен порядок, состав и повторение !
Пример. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить: сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.
Решение. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет Если цифры не повторяются, то
Перестановкой из п элементов называется п- элементное упорядоченное множество
Важен порядок !
Важен порядок, повторение !
Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет А три книги можно переставлять между собой способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно: * =3!*28!
Сочетанием из п по k называется k - элементное подмножество п- элементного множества.
Важен состав !
Важен состав, повторения !
Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?
Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний:
