Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость
Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость Дано: a ‖ b, a ∩ α Доказать: b ∩ α Доказательство: 1) a ∩ α = M a, b ∈ β α ∩ β = c c ∩ β = P 2) c ⊂ β, c ∩ a ⇒ 3) c ⊂ α ⇒ P ∈ α P = b ∩ α Лемма доказана a b α M β c P
Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
b a с Дано: a ‖ c, b ‖ c Доказать: a ‖ b Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
b a с α K Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны Дано: a ‖ c, b ‖ c Доказать: a ‖ b Доказательство: 1) K ∈ b K, a ∈ α 2) b ∩ α ⇒
Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны b a с α K Дано: a ‖ c, b ‖ c Доказать: a ‖ b Доказательство: 1) K ∈ b K, a ∈ α 2) b ∩ α ⇒ ⇒ c ∩ α, a ∩ α
Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны b a с α K Доказательство: Дано: a ‖ c, b ‖ c Доказать: a ‖ b 1) K ∈ b K, a ∈ α 2) b ∩ α ⇒ ⇒ c ∩ α, a ∩ α Противоречие с условием задания плоскости
Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны b a с α K Доказательство: Теорема доказана 1) K ∈ b K, a ∈ α 2) b ∩ α ⇒ ⇒ c ∩ α, a ∩ α Противоречие с условием задания плоскости b ⊂ α ⇒ a ∥ b Дано: a ‖ c, b ‖ c Доказать: a ‖ b
Задача 1 Дано: Найти: P MNQP N А В С D P M Q N ∈ CD, CN = ND Q ∈ АС, AQ = QN P ∈ АВ, AP = PB АD = 12 см, 1 4 см 1 2 см ВС = 14 см М ∈ BD, BM = MD Решение: 1) MN ∥ ВС, Q Р ∥ ВС ⇒ MN ∥ Q Р 2) MP ∥ DA, NQ ∥ DA ⇒ MP ∥ NQ 3) MN ∥ Q Р, MP ∥ NQ ⇒ ⇒ MNQP — параллелограмм Ответ: P MNQP = 26 см 4) P MNQP = 2( MN + МР) P MNQP = 2(7+ 6) = 26 (см)
Задача 2 Дано: Доказать: любая прямая ∥ С D ∩ ( АВС ), (ABD) ΔАВС ⊂ (АВС), Доказательство: С ∈ АВС, D ∈ ABD ⇒ ⇒ CD ∩ ( ABC ) = C, С D ∩ ( ABD ) = D Любая прямая ∥ С D ∩ ( АВС ), (ABD) ΔАВ D ⊂ (АВ D ) C A B D по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми Что и требовалось доказать
