Урок обобщающего повторения по теме «Параллельность прямой и плоскости в пространстве.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. А К D B С
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. С с
Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну. a b С
Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну. m М Следствия из аксиом Т 1
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости m А В Следствия из аксиом
Через 3 точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. М А В Следствия из аксиом
Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые проходит плоскость, и притом только одна. m к Следствие из Т 1
Способы задания плоскостей Рисунок Вывод Как в пространстве можно однозначно задать плоскость? 1. По трем точкам 2. По прямой и не принадлежащей ей точке. 3. По двум пересекающимся прямым. 4. По двум параллельным прямым.
1. Любые три точки лежат в одной плоскости. ответ 2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости. 3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. 4. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 5. 5 точек не лежат в одной плоскости. Могут ли какие–нибудь 4 из них лежать на одной прямой? 6. Через середины сторон квадрата проведена плоскость. Совпадает ли она с плоскостью квадрата? Определите: верно, ли утверждение?
Дано: АВС D -параллелограмм А, В, С α Доказать: D α А В С D • • • • Доказательство: А, В АВ, С, D С D, АВ С D (по определению параллелограмма) АВ, С D α D α
пересекаются параллельны а а а b b b скрещиваются Лежат в одной плоскости Не лежат в одной плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве.
Доказательство: а с в 1 в β α В 1 случай. а, в, с α рассмотрен в планиметрии 2 случай. а, в α; а, с β 1. Возьмем т.В, В в Через т.В и с проведем плоскость α = в 1 2. Если в 1 β = Х, Х а, в 1 α, но Х с, т.к. в 1 , а т.к. а с в 1 β 3. в 1 α, в 1 а в 1 а в 1 = в (А параллельных прямых ) 4. в с Теорема доказана. • Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны
К a b Дано: К a Доказать: ! b : К b, b a Доказательство: 1.Проведем через прямую a и точку К плоскость α. 2.Проведем через т. К α прямую b, b a.(А планиметрии ) Единственность (от противного) 1.Пусть b 1 : К b 1, b 1 a.Через прямые a и b 1 можно провести плоскость α 1. 2. a, К α 1 ; α 1 и α ( Т о точке и прямой в пространстве ). 3. b = b 1 (А параллельных прямых ). Теорема доказана.
Задание 1 Вставьте пропущенные слова Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они ………… на одной прямой. 2) Если ……точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости. 3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую ………….. 4) Прямые являются ……………… в пространстве, если они не пересекаются и ………. в одной плоскости.
Задание 2 Определите: верно, ли утверждение? 1. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. 2. Если прямые не пересекаются, то они параллельны. 3. Прямая m параллельна прямой n, прямая m параллельна плоскости α. Прямая n параллельна плоскости α. 4. Все прямые пересекающие стороны треугольника лежат в одной плоскости. 5. Прямая АВ и точки С, D не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые АВ и С D пересекаться?
Задание 2 Определите: верно, ли утверждение? 6. Прямые АВ и С D пересекаются. Могут ли прямые АС и В D быть скрещивающимися? 7. Прямые а и в не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и в ? 8. Прямая а, параллельная прямой в, пересекает плоскость α. Прямая с параллельна прямой в. Может ли прямая с лежать в плоскости α? 9. Прямая а параллельна плоскости α. Существует ли на плоскости α прямые, непараллельные а?
А В С С 1 А 1 α Задание 3 Дано: ВС=АС, СС 1 АА 1, АА 1 =22 см Найти: СС 1 Решение: АА 1 СС 1, АС = ВС С 1 – середина А 1 В (по т.Фалеса) С С 1 - средняя линия ∆АА 1 В С С 1 = 0,5АА 1 = 11 см Ответ: 11см.
a с Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. b К
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Дано: Доказать:
1.Через прямые a и b проведем плоскость α Пусть,, α 2. α β = b Если a β = Х, то Х b, это невозможно, т.к. α b a β a β Теорема доказана.
Дано: а α а β; β ∩ α = в Доказать: а в Доказательство: а, в β Пусть в ∩ а, тогда а ∩ α, что противоречит условию. Значит в а Задание 2 α β а в
A В С Плоскость проходит через сторону АС АВС. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно. Докажите, что DE α D E Доказательство: 1. Точки D и E - середины отрезков АВ и BC соответственно 2. DE – средняя линия (по определению) DE АС (по свойству) DE α ( по признаку параллельности прямой и плоскости)
