Простейшие задачи в координатах Л.С. Атанасян "Геометрия 7-9" Савченко Е.М., учитель математики, МОУ гимназия №, г. Полярные Зори, Мурманской обл.
№929 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В – на положительной полуоси ОУ. Найдите координаты вершин треугольника АВО, если x y O A B ( 5 ; 0) 5 3 ( 0 ; 3) ( 0 ; 0) а) ОА = 5, ОВ = 3; б) ОА = a, ОВ = b a b ( a ; 0) ( 0 ; b ) ( 0 ; 0)
( 6,5 ; 3) ( a ; 0) №9 30 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В – на положительной полуоси ОУ. Найдите координаты вершин прямоугольника ОАСВ, если x y O A B ( 6,5 ; 0) 6, 5 3 ( 0 ; 3) ( 0 ; 0) а) ОА = 6,5, ОВ = 3; б) ОА = a, ОВ = b a b ( 0 ; b ) ( 0 ; 0) C ( a ; b )
№9 31 Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина Р имела координаты (-3; 3), а диагонали квадрата пересекались в начале координат. Найдите координаты точек M, N и Q. x y O P(-3;3) (3;3) M(3;-3) N Q (-3;-3)
№9 32 Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника АВС, изображенного на рисунке, если АВ = 2 a, а высота СО равна b. x y O C A B a b a (0; b ) ( a ;0) (- a ;0)
№9 33 Найдите координаты вершины D параллелограмма АВС D, если А(0; 0), В(5; 0), С(12; -3). x y A ( 5 ; 0 ) B C D ( 7 ; -3 ) ( 0 ; 0 ) 5 5 ( 12 ; -3 ) -5
Выразим координаты вектора АВ через координаты его начала А и конца В. AO + O В AB = = – OA + O В Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. x y O B A ( x 1 ;y 1 ) ( x 2 ;y 2 ) { x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 } OB{ x 2 ; y 2 } (-1) OA{ x 1 ; y 1 } + – OA + O В AB { x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 } –OA{- x 1 ;- y 1 }
AB{2;-1} О 1 x y B A ( 3;5) ( 5;4) P C ( 2;-1) ( 4;-4) D ( -3;-4) R T ( -4;0) ( 0;5) N ( 3;2) B ( 5;4) A ( 3;5) – ON{3;2} Радиус-вектор PC{2;-3} C ( 4;-4) P ( 2;-1) – TR{-4;-5} T ( 0; 5) R ( -4;0) – OD{-3;-4} Радиус-вектор
Найдите координаты векторов RM{-4; 0} R ( 2; 7) M ( -2;7) – R (2 ; 7 ) ; M(-2;7); RM P ( -5;1) ; D(-5;7); PD PD{ 0; 6} P ( -5; 1) D ( -5;7) – R ( -3;0) ; N(0;5); RN A ( 0;3) ; B(-4;0); BA R ( -7; 7 ) ; T(-2;-7); RT A ( - 2 ; 7 ) ; B(-2;0); AB RN{3; 5} R ( -3;0) N ( 0; 5) – BA{4; 3} B ( -4;0) A ( 0; 3) – AB{0;-7} A ( -2;7) B ( -2;0) – RT{5;-14} R ( -7; 7) T ( -2;-7) –
{ } Найти координаты векторов. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов R (2 ; 7 ) ; M(-2;7); RM P ( -5;1) ; D(-5;7); PD R ( -3;0) ; N(0;5); RN A ( 0;3) ; B(-4;0); BA R ( -7; 7 ) ; T(-2;-7); RT A ( - 2 ; 7 ) ; B(-2;0); AB { } { } { } { } { }
AB{2;-1} B ( 5; 4) A ( x ; y ) – Дано: Найти: AB{2;-1}, B ( 5;4) A ( x ; y ) 5 – x = 2 x = 3 4 – y = -1 y = 5 Обратные задачи. AB{2;-1} B ( x ; y ) A ( 2;-4) – Дано: Найти: AB{2;-1}, A ( 2;-4) B ( x ; y ) x – 2 = 2 x = 4 y + 4= -1 y = -5
B Повторение A O C
C ( x 0 ;y 0 ) A ( x 1 ;y 1 ) B ( x 2 ;y 2 ) x y О OA{ x 1 ; y 1 } OB{ x 2 ; y 2 } + OA+OB { x 1 + x 2 ; y 1 + y 2 } :2 1 2 (OA+OB) { ; } y 1 + y 2 2 x 1 + x 2 2 OC { ; } y 1 + y 2 2 x 1 + x 2 2 Координаты середины отрезка x 0 = ; x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 y 0 =
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. A ( x 1 ;y 1 ) B ( x 2 ;y 2 ) x y О OC { ; } y 1 + y 2 2 x 1 + x 2 2 x 0 = ; x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 y 0 = Полусумма абсцисс Полусумма ординат C ( ; ) y 1 + y 2 2 x 1 + x 2 2 C
О 1 x y A ( 3;5) B ( 5;4) P C ( 2;-1) ( 4;-4) D ( -3;-4) R T ( -4;0) ( 0;5) N ( 3;2) x 0 = ; x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 y 0 = Полусумма абсцисс Полусумма ординат x 0 = ; 3 +5 2 y 0 = ; 5 +4 2 F C (4; 4,5) x 0 = ; 3 +0 2 y 0 = ; 2 +0 2 F (1,5; 1) C x 0 = ; 2 +4 2 y 0 = -1+(-4) 2 V (3;-2,5) V x 0 = ; 0+(-4) 2 y 0 = 5+0 2 S (-2;2,5) S x 0 = ; 0+(-3) 2 y 0 = 0+(-4) 2 Q (-1,5;-2) Q
Найдите координаты c ередин отрезков R (2 ; 7 ) ; M(-2;7); C P ( -5;1) ; D(-5;7); C R ( -3;0) ; N(0;5); C A ( 0;-6) ; B(-4;2); C R ( -7;4) ; T(-2;-7); C A ( 7; 7 ) ; B(-2;0); C ( ; ) ; 2 2+(-2) 2 7 + 7 C ( 0; 7 ) ( ; ) ; 2 -5+(-5) 2 1 + 7 C ( -5; 4 ) ( ; ) ; 2 -3 + 0 2 0 + 5 C ( -1,5; 2,5 ) ( ; ) ; 2 0+(-4) 2 -6+2 C ( -2;-2 ) ( ; ) ; 2 7+(-2) 2 7 + 0 C ( 2,5; 3,5 ) ( ; ) ; 2 -7+(-2) 2 4+(-7) C ( -4,5;-1,5 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Найти координаты середин отрезков. Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов R (2 ; 7 ) ; M(-2;7); C P ( -5;1) ; D(-5;7); C R ( -3;0) ; N(0;5); C A ( 0;-6) ; B(-4;2); C R ( -7;4) ; T(-2;-7); C A ( 7; 7 ) ; B(-2;0); C
Дано: Найти: A ( 5; 4); C(-3; 2) – середина отрезка AB B ( x ; y ) Обратная задача. x 0 = ; x 1 + x 2 2 y 1 + y 2 2 y 0 = -3 = ; 5 + x 2 2 = ; 4 + y 2 2 2 – 6 = 5 + x x = – 11 4 = 4 + y y = 0 B ( -11; 0) A ( 5; 4) C(-3; 2) B ( x ; y )
= = x y О A 1 Вычисление длины вектора по его координатам A 2 a { x ; y } OA= A ( x;y ) a OA 2 =OA 1 2 + AA 1 2 x y y OA 2 = x 2 + y 2 OA = x 2 + y 2 a OA x 2 + y 2
x y O Расстояние между двумя точками M 1 ( x 1 ;y 1 ) M 2 ( x 2 ;y 2 ) M 2 ( x 2 ;y 2 ) M 1 ( x 1 ;y 1 ) M 1 M 2 { x 2 –x 1 ; y 2 –y 1 } – x 2 + y 2 = a M 1 M 2 = ( x 2 –x 1 ) 2 +( y 2 –y 1 ) 2 d = ( x 2 –x 1 ) 2 +( y 2 –y 1 ) 2 d
№ 940 Найдите расстояние между точками x 2 + y 2 = a M 1 M 2 = ( x 2 –x 1 ) 2 +( y 2 –y 1 ) 2 A (2 ; 7 ) и B(-2;7) 1 способ 2 способ AB{-4; 0} B ( -2; 7) A ( 2; 7) – AB = (-4) 2 + 0 2 ( – 2 – 2) 2 +(7 – 7) 2 AB = = 16 = 4 1 ) 2)
x y O A C B 5 3 3 ABC О – прямоугольная трапеция. Найдите координаты точек A, B, C, O, N и P, где N и P – середины диагоналей OB и AC соответственно. ( 3;3) ( 0;5) N(1,5; 1,5); P(1,5; 2,5) ( 3;0) {3; 3} {0; 3} {3;-5} Найдите координаты векторов OB AB CA NP {0; 1} N P Найдите NP CA = 3 2 + (-5) 2 = 0 2 + 1 2
x y O A C B 8 2 4 ABC О – прямоугольная трапеция. Найдите координаты точек A, B, C, O, N и P, где N и P – середины диагоналей AC и OB соответственно. ( -8;4) ( -2;0) N(-1; 2); P(-4; 2) ( 0;4) {0; 4} {-8;0} {2; 4} Найдите координаты векторов OA AB CA NP {-3;0} Найдите NP CA = 2 2 + 4 2 = (-3) 2 + 0 2 P N
