Смежные углы и их свойства. М А В С Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой, называются смежными Углы АМВ и СМВ – смежные. Сумма смежных углов равна 180 0
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. О А В М N Углы АОВ и МО N являются вертикальными. Вертикальные углы равны
Прямые MN и КР пересекаются в точке О, причем сумма углов КОМ и N ОР равна 134 0. Найдите величину угла КО N. M N K P O 67 0 67 0 113 0 113 0 Тренировочные задания
А В С Назовите сторону противолежащую углу А ; В ; С. Между какими сторонами заключены углы А ; В ; С ? Назовите углы, прилежащие к стороне АВ; ВС; АС. Назовите угол, противолежащий к стороне АВ; ВС; АС.
это отрезок, один конец которого лежит на данной прямой, а сам он лежит на прямой, перпендикулярной к данной прямой. Н А а АН а ; А а ; Н а.
м е д и а н а Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. медиана биссектриса 1 В Ы С О Т А б и с с е к т р и с а Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. высота
1 Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. В Ы С О Т А В Ы С О Т А Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, совпадает с катетом. Высота в тупоугольном треугольнике, проведенная из вершины острого угла, проходит во внешней области треугольника. В Ы С О Т А 1 1
В А С Равнобедренный треугольник О С Н О В А Н И Е БОКОВАЯ СТОРОНА БОКОВАЯ СТОРОНА Равносторонний треугольник N M O
А В С В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
D А B Тренировочные задания. 70 70 D ВА – ?
D С B Тренировочные задания. 70 70 D ВА – ? А 110
D С Тренировочные задания. 70 70 D ВА – ? А 70 В К
А В D С В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. 1 2
В равностороннем треугольнике это свойство верно для каждой высоты А В С D F N O Высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в одной точке.
А В С D ? 40 0 40 0 Найти АВ D
А В С D ? 50 0 50 0 Найти D ВА
А В С D ? 3 0 0 3 0 0 Найти АВ D К М 6 0 0
В А D ? 3 0 0 3 0 0 Найти АВ D К С 12 0 0
С А В D ? Найти D ВА
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. А С В А 1 В 1 С 1
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. А С В А 1 В 1 С 1
23см 54 0 Для красного треугольника найдите равный и щёлкните по нему мышкой. 23см 23см 54 0 23см 54 0 84 0 84 0 84 0 Проверка 54 0 Не верно! S K D А N I O C B M E Z
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. А С В А 1 В 1 С 1
а b с Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках 8 7 6 5 3 2 1 Названия углов накрест лежащие углы (НЛУ): односторонние углы (ОУ): соответственные углы (СУ): 4
1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 12 а b c d 4
B C D A 1) Как называются эти углы? 2) Для каких прямых и какой секущей? секущая
B C D A 1) Как называются эти углы? 2) Для каких прямых и какой секущей? секущая
B C D A 1) Как называются эти углы? 2) Для каких прямых и какой секущей? секущая
B C D A 1) Как называются эти углы? 2) Для каких прямых и какой секущей? секущая
B C D A 1) Как называются эти углы? 2) Для каких прямых и какой секущей? секущая
B C D A 1) Как называются эти углы? 2) Для каких прямых и какой секущей? секущая
Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. а b а II b
a b c b II c Две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 46 0 46 0 a b a II b c ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ.
4 2 0 Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 4 2 0 a b a II b c
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0, то прямые параллельны. 4 2 0 138 0 a b a II b c
A B C D Укажите параллельные прямые Задача 2
A B C D Укажите параллельные прямые Задача 4
Если две параллельные прямые пере- сечены секущей, то соответственные углы равны. Если две параллельные прямые пере- сечены секущей, то сумма односторон- них углов равна 180 0. 1 2 а b c c а b 1 2 c а b 1 2 Если две параллельные прямые пере- сечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Свойства параллельных прямых
? ? а c b a||b ? р
? а c b a||b ? р
? а c b a||b ? р ?
? а c b a||b ? р ?
На рисунке АС II В D и АС = АВ, МАС = 40 0. Найдите СВ D. С D M A 40 0 2 1 3 B
? 70 0 Тренировочные упражнения А В С 50 0 60 0 ? ? ? ? ? 180 0 – 50 0 – 60 0 70 0 180 0 – 90 0 – 20 0 А М Р 20 0 (180 0 – 40 0 ):2 70 0 70 0 А В С 40 0 180 0 – 2*30 0 30 0 120 0 О N F 30 0
Тренировочные упражнения А В С (180 0 – 90 0 ):2 ? ? 45 0 45 0 180 0 :3 60 0 60 0 60 0 N S X Вычислите все неизвестные углы треугольников
Тренировочные упражнения M N Вычислите все неизвестные углы треугольников. 75 0 P 15 0 R 90 0 15 0 60 0 180 0 – 75 0 – 15 0 180 0 – 90 0 – 30 0
Тренировочные упражнения А В С ? ? 5 0 0 40 0 Вычислите все неизвестные углы треугольников N ? 40 0 ? 5 0 0
А D С В 40 0 45 0 Найти: O А D ll ВС ? ? Задача 1
В А С К 110 0 50 0 Найти: Задача 2
Найти: А В Е С D 56 0 48 0 ? Задача 3
Внешний угол треугольника и его свойства Внутренние углы. А В С Внешние углы. Внешние углы. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. А В С 4 1 2 4 2 1 = + 3
25 ْ А В С 75 ْ D R N 105 0 155 0 100 0 Тренировочные упражнения
150 ْ 80 ْ А В С К М Тренировочные упражнения 100 0 30 0 50 0
30 ْ 115 ْ Тренировочные упражнения 65 0 85 0
Б о л ь ш а я с т о р о н а Рассказать о соотношении между сторонами и углами треугольника. В треугольнике: против большей стороны лежит больший угол; обратно, против большего угла лежит большая сторона. А В С
Прямоугольный треугольник. 170 160 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 100 180 170 160 150 140 130 120 110 180 140 150 А В С г и п о т е н у з а к а т е т к а т е т
Прилежащий катет Противолежащий катет Это важно знать! А В г и п о т е н у з а Противолежащий катет Для угла В Прилежащий катет Для угла А Прилежащий катет АС. С Противолежащий катет АС. Прилежащий катет ВС. Противолежащий катет ВС.
Следствие 2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Это следствие называют признаком равнобедренного треугольника. Г И П О Т Е Н У З А Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. А В С В самом деле гипотенуза лежит против прямого угла, а катет против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.
Почему не существует треугольника со сторонами 14, 6 и 7. 14 6 7 14 < 6+7 Неравенство треугольника.
Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. А В С Достаточно проверять выполнение неравенства для большей стороны. АВ < ВС + АС ВС < АВ + АС АС < АВ + ВС
Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Найди треугольники, которые не существуют и щелкни по ним мышкой. А В С 12 18 8 Q R N 7 6 14 А В С 4 11 7 Q R N 8 9 14 18 <12+8 (Верно) 1 1<4+7 1 4<6+7 1 4<9+8 (Верно) Достаточно проверить выполнение неравенства для большей стороны.
Какие красивые равнобедренные треугольники. Найди лишние и щелкни по ним мышкой. N 16 8 8 I W А В С 12 12 8 255 А В С 125 125 Q R N 9 9 16 12 <12+8 (Верно) 255 < 125 + 125 16 < 8 + 8 16 <9+ 9 (Верно)
В R А 3 8 5 12 3 6 11 12<8+3 8 < 5 +3 8 <3+3 11<8+3 8 <6+3 У треугольника не хватает одной стороны. Какое из предложенных чисел подойдет? Щелкни по нему мышкой. Чтобы раскрыть проверку, щелкните на число второй раз
№ 252. P =74 см. Одна из сторон 16см. Найти две другие стороны треугольника. АВ=16см ВС=16см А В С АВ=АС=16см ВС=74 – (16+16)= =42см 16 16 42 42 <16+16 ( Н )
ВС=16см № 252. P =74 см. Одна из сторон 16см. Найти две другие стороны треугольника. АВ=16см А В С АВ=(74 –16):2= =29см 29 29 16 29 < 29 +16 ( В ) Ответ: стороны треугольника 29, 29, 16см.
№ 253. P = 25см. Один из внешних углов – острый. Разность двух сторон равна 4см. Найти стороны треугольника. А С Вы правы! Такой треугольник не существует. Этот случай невозможен. 2 1 В острый острый тупой тупой
№ 253. P = 25см. Один из внешних углов – острый. Разность двух сторон равна 4см. Найти стороны треугольника. А С В острый тупой Разность двух сторон равна 4см. х х х+ 4 большая сторона
Прилежащий катет Противолежащий катет Это важно знать. М Р г и п о т е н у з а Противолежащий катет Для угла Р Прилежащий катет Для угла М Прилежащий катет МТ. Т Противолежащий катет МТ. Прилежащий катет РТ. Противолежащий катет РТ.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0. Свойства прямоугольных треугольников. S Т А 38 0 23 / ? 90 0 – 38 0 23 / = 89 0 60 / – 38 0 23 / = 51 0 37 /
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 0, равен половине гипотенузы. А С В 4,2см 30 0 2,1см
3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0. А С В 5,2 4 см 30 0 2, 62 см
Найти: ВС Задача 2 Найти: АВ
Найти: АЕ Задача 4 Найти: угол В угол А
Найти : СЕ Задача 6 Найти: СА 1
Найти : угол СА D Задача 8 Найти: А D
