БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 5 Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Основы математического анализа
Определение: Автор : И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Бесконечно малые функции Функция f ( х ) называется бесконечно малой функцией, или б.м.ф., при если То есть, Предел функции в точке Функция f ( х ) называется бесконечно малой функцией, или б.м.ф., при если
Автор : И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства бесконечно малых функций 1. Сумма конечного числа б.м.ф. при 2. Произведение конечного числа б.м.ф. при 3. Произведение б.м.ф. при 4. Связь функции, её предела и б.м.ф. Число А является пределом функции f ( х ) в точке х 0 тогда и только тогда, когда имеет место равенство где a ( х ) – б.м.ф. при Предел функции в точке является б.м.ф. при является б.м.ф. при на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки х 0 функцию является б.м.ф. при
Пример 1: Автор : И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Предел функции в точке Функция Бесконечно малые функции является бесконечно малой при но не является бесконечно малой при Пример 2: Функция является бесконечно малой при
Определение: Автор : И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Бесконечно большие функции Функция f ( х ) называется бесконечно большой функцией, или б.б.ф., при если для любого сколь угодно большого числа М > 0 существует проколотая окрестность Предел функции в точке точки х 0 такая, что для всех выполнено условие
При этом: Автор : И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Бесконечно большие функции Предел функции в точке
Автор : И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства бесконечно больших функций 1. Произведение двух б.б.ф. при 2. Если в некоторой проколотой окрестности точки х 0 для 3. Если f ( х ) – б.б.ф. при Предел функции в точке является б.б.ф. при то функция то б.м.ф. при является Если f ( х ) – б.м.ф. при то б.б.ф. при является функции f ( х ) выполнено условие где с – константа, а f 2 ( х ) – б.б.ф. при является б.б.ф. при
Пример 1: Автор : И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Предел функции в точке Функция Бесконечно большие функции является бесконечно большой при но не является бесконечно большой при при любом другом значении х. Пример 2: Функция является бесконечно большой при
НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ Лекция 5 Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Основы математического анализа
Для нахождения предела функции используют: Нахождение пределов функций Начинать нахождение предела следует с подстановки х 0 в качестве аргумента функции. Если при этом получается константа, то она и является пределом функции. Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР понятие предела функции в точке; свойства функций, имеющих предел в точке; свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.
Определённости: Нахождение пределов функций где константу считаем большей нуля. Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Неопределённости:
Пример 1: Основы математического анализа Нахождение пределов функций Найти предел функции Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Решение: Имеем неопределённость вида
Пример 2: Основы математического анализа Найти предел функции Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Нахождение пределов функций Решение: Имеем неопределённость вида
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ Лекция 5 Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Основы математического анализа
Первый замечательный предел Замечательными пределами называются известные пределы от известных функций. Основы математического анализа К первому замечательному пределу сводятся следующие пределы: Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Первый замечательный предел:
Второй замечательный предел Замечательными пределами называются известные пределы от известных функций. Основы математического анализа К второму замечательному пределу сводятся следующие пределы: Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Второй замечательный предел: Следствие: где б.м.ф. при
Основы математического анализа Другие замечательные пределы Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Основы математического анализа Таблица замечательных пределов: Общий случай Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Пусть б.м.ф. при Тогда:
Пример 1: Основы математического анализа Замечательные пределы Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Найти предел Решение: Имеем неопределённость вида
Пример 2: Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Найти предел Решение: Имеем неопределённость вида Замечательные пределы
Высшая математика math.mmts-it.org Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
