НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА ОТРЕЗКЕ Тема 7 Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке Определение 1: Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х 0, если она определена в этой точке и её предел в ней равен значению функции в этой точке: Запись через односторонние пределы: Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке Определение 2: Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х 0, если она определена в некоторой её окрестности и Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Непрерывность функции в точке Определение 3: Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х 0, если её приращение в этой точке есть бесконечно малая функция при – приращение аргумента Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Обозначения: – приращение функции
Графическая интерпретация: Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Непрерывность функции в точке
Свойства функций, непрерывных в точке 1. Функция, непрерывная в точке х 0, ограничена в некоторой окрестности этой точки. 3. Если функции f ( x ) и g ( x ) непрерывны в точке x 0, то функции: Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР 2. Если функция непрерывная в точке х 0, то существует некоторая окрестность U ( x 0 ), в которой функция имеет такой же знак, как и f ( x 0 ). тоже непрерывны в точке x 0
4. Непрерывность сложной функции Пусть функция g ( x ) непрерывна в точке x 0, а функция f ( y ) непрерывна в точке y 0 = g ( x 0 ). Тогда сложная функция f ( g ( x )) является непрерывной в точке x 0. Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства функций, непрерывных в точке Доказательство: Следовательно,
4. Непрерывность сложной функции: Следствие Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Свойства функций, непрерывных в точке Таким образом, знак предела и знак непрерывной функции можно менять местами. Метод замены переменной для пределов непрерывных функций:
Пример 3: Решение: Установить непрерывность или разрывность функции Ответ: Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Непрерывность функции в точке
1. Устранимый разрыв Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Классификация точек разрыва
2. Разрыв 1-го рода Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Классификация точек разрыва
3. Разрыв 2-го рода Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Классификация точек разрыва
Пример 4: Решение: Найти точки разрыва функции и установить их характер Ответ: Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Непрерывность функции в точке
Односторонняя непрерывность функции в точке Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Непрерывность слева: Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х 0 слева, если она определена в точке x 0 и её предел слева в этой точке равен значению функции в этой точке:
Односторонняя непрерывность функции в точке Непрерывность справа: Функция f ( x ) называется непрерывной в точке х 0 справа, если она определена в точке x 0 и её предел справа в этой точке равен значению функции в этой точке: Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР
Определение: Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Непрерывность функции на отрезке Функция f ( x ) называется непрерывной на отрезке [ a,b ], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, причём функция непрерывна в точке a справа, а в точке b – слева.
Свойства функций, непрерывных на отрезке Функция f ( x ), непрерывная на отрезке [ a, b ], ограничена на нём. Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Теорема 1 ( Вейерштрасса ): Теорема 2 ( Вейерштрасса ): Функция f ( x ), непрерывная на отрезке [ a, b ], достигает на этом отрезке своих точной верхней и точной нижней граней.
Свойства функций, непрерывных на отрезке Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на концах его принимает значения A= f ( a ) и B = f ( b ) разных знаков, то внутри отрезка [ a, b ] найдётся по крайней мере одна точка х = с, для которой f ( c ) = 0. Теорема ( Коши о прохождении функции через ноль ):
Свойства функций, непрерывных на отрезке Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [ a, b ] и f ( a ) = А, f ( b ) = В, то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству А < С < В, на интервале ( a, b ) найдётся такая точка х = с, для которой f ( c ) = С. Теорема ( Коши о промежуточном значении ):
Непрерывность обратной функции Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Функция f ( x ) называется строго возрастающей на отрезке [ a, b ], если для любых двух чисел x 1 и x 2, принадлежащих интервалу [ a, b ], из неравенства x 1 < x 2 следует неравенство f ( x 1 ) < f ( x 2 ). Определение 1: Определение 2: Функция f ( x ) называется строго убывающей на отрезке [ a, b ], если для любых двух чисел x 1 и x 2, принадлежащих интервалу [ a, b ], из неравенства x 1 < x 2 следует неравенство f ( x 1 ) > f ( x 2 ).
Непрерывность обратной функции Основы математического анализа Автор : И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР Если функция f ( x ) строго монотонна и непрерывна на отрезке [ a, b ] и интервал [ A, B ] – множество её значений, то существует обратная функция f –1, являющаяся строго монотонной. Теорема 1: Теорема 2: Если функция f ( x ) строго монотонна и непрерывна на отрезке [ a, b ], то обратная функция f – 1 непрерывна на отрезке [ A, B ], где [ A, B ] – множество значений функции f ( x ).
Высшая математика Автор : И.В.Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР math.mmts-it.org
