высоты биссектрисы серединные перпендикуляры медианы
Теорема1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. А Х М В С Е К Дано: ВАС, АХ – биссектриса, М є АХ, МЕ АВ, МК АС Доказать: МЕ = МК Теорема 2 ( обратная). Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла – множество точек плоскости, равноудалённых от сторон этого угла.
Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Дано: АВ – отрезок, РК – серединный перпендикуляр, М є РК Доказать: МА = МВ А В Р К М Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку – множество точек плоскости, равноудалённых от его концов.
Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Дано: АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы, О - точка их пересечения Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ Доказательство: АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК АС, значит, ОМ = ОК ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР ВС, значит, ОМ = О P Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно, О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС. Е Т А В С О У Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника. К М Р
Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Дано: АВС, k,n – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, О – точка их пересечения Доказать: р – серединный перпендикуляр к ВС, О є р Доказательство: n – серединный перпендикуляр к АС и О є n, значит, ОА = ОС. k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ. Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р. Значит, О – точка пересечения серединных перпендикуляров k, n, p. А В С k n p О
Вторая замечательная точка треугольника (продолжение) Ещё возможное расположение:
Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от вершины. (центр тяжести треугольника – центроид) А В С М К Р О Дано: АВС, AM,ВК,СР - медианы Доказать: АМ ВК СР = О Доказательство проведено ранее: задача 1 п. 62.
Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке ( ортоцентр). Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений. Дано: АВС, АК, ВН, СМ - высоты М А С(К,Н,О) В А В С Н М К О В С А Н К М О
Доказательство: А В С К М Н О Получим: АСВЕ – параллелограмм, значит, АС = ВЕ Е Т У АСТВ – параллелограмм, значит, АС = ВТ Следовательно, ВЕ = ВТ, т. е. В – середина ЕТ. Т.к. ВН – высота АВС по условию, то ВН АС Т. к. ЕТ АС по построению, значит, ВН ЕТ Получим: ВН – серединный перпендикуляр к ЕТ. Аналогично, СМ – серединный перпендикуляр к ТУ и АК - серединный перпендикуляр к УЕ. Т. е. ВН, СМ, АК – серединные перпендикуляры к сторонам ЕТУ, проведём ЕТ АС, ЕУ ВС, ТУ АВ. Через вершины В, А, С треугольника АВС которые по ранее доказанному пересекаются в одной точке, значит, высоты АВС пересекаются в одной точке.
Задача № 680. А В С D К М Дано: АВС, АМ = ВМ, М D AB, AK = KC, DK AC, D є BC. Доказать: D - середина ВС, А = В + С. Доказательство: AK = KC, DK AC, D є BC по условию, значит, AD = DC BD = DC, следовательно, D – середина ВС. АМ = ВМ, М D AB, D є BC по условию, значит, В D = AD а) б) По доказанному В D = AD AD = DC, значит, треугольники АВ D и и АС D – равнобедренные, поэтому 1 = В, 2 = С. 1 2 ВАС = 1 + 2 = В + С, что и т. д.
