Теорема о медиане треугольника
C В A a sinA b sinB = = c sinC a b c Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Теорема синусов Повторение
a 2 = B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон b 2 + c 2 – 2bc cosA Теорема косинусов b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cosB Повторение
Косинус угла треугольника Повторение
Теорема о медиане треугольника Квадрат медианы АМ треугольника АВС выражается формулой А С В М Доказательство: (используйте рекомендации) 1). АМ – медиана, тогда СМ = ВМ = 2). Запишите теорему косинусов для стороны АС Δ АВС 3). Выразите с os B из равенства 4). Запишите теорему косинусов для стороны АМ Δ МАВ. 5 ). Перепишите равенство заменяя ВМ на ВМ ² на и подставляя значение с os B
Теорему о медиане треугольника можно сформулировать так: Квадрат медианы треугольника, проведённой из какой- либо его вершины, равен полусумме квадратов двух его сторон, проведённых из этой же вершины, минус четверть квадрата третьей стороны
AB С D – параллелограмм Доказать: АС ² + BD ² = А B ² + B С ² + С D ² + А D ² D A B C O Следствие к теореме
Рекомендации к решению задачи №836 На стороне ВС Δ АВС отмечена точка D так, что BD:AB = DC:AC. Докажите, отрезок AD – биссектриса Δ АВС А В С • D Доказательство: (используйте рекомендации, если затрудняетесь) 1). Введите обозначения углов Δ АВ D и Δ АС D c вершиной в точке А: и с вершиной в точке D: 2). Запишите теорему синусов для Δ АВ D, используя стороны DB и AB 1 2 3 4 2). Перепишите пропорцию в виде 3 ). Запишите теорему синусов для Δ АС D, используя стороны DC и AC 4 ). Перепишите пропорцию в виде
5). Завершите предложение - углы 3 и 4 являются … 6). Воспользуйтесь свойством синусов смежных углов 7). Перепишите пропорцию (**), заменяя 8). Пропорцию BD:AB = DC:AC из условия задачи перепишите в виде 9). Перепишите пропорцию (***), используя шаги 2) и 7) 10). Сделайте заключение об углах 1 и 2 и об отрезке AD
