Основные факты курса планиметрии. 7-9 класс. Создатель презентации учитель математики анкина т.с. Г. Екатеринбург маоу-гимназия №13 Справочник планиметрии.
1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7-9. М. :Просвещение, 2008. 2. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский Геометрия в таблицах, 7-11кл. : Справочное пособие/М. :Дрофа, 2002.
После прочтения инструкции перейдите на следующий слайд «Основные темы». Выбрав тему, «кликните» по её названию. Для продолжения просмотра выбранной темы «кликните» по стрелке «Далее». Для возвращения к списку тем «кликните» по кнопке «Вернуться»
1.Углы и параллельность. 2.Треугольник. 3.Параллелограммы. 4. Трапеции. 5. Окружность. 7. Правильные многоугольники. 6. Площади. Закрыть справочник.
1.Углы и их виды. 2.Углы и параллельные прямые. 4.Теорема Фалеса. 3. Аксиома параллельных. Свойства. Вернуться
сторона В А С вершина биссектриса ВАС АМ - биссектриса ВАМ= САМ М 1.Угол. 2.Развёрнутый угол. В А С 3.Виды углов. ВАС=180 ˚ В А С В H D BAD=90 ˚- прямой С A В < 90 ˚- острый Н A В >90 ˚- тупой 4. Смежные углы. 5. Вертикальные углы равны. В А С D С AD и ВАС - смежные С AD + ВАС=180 ˚ А С H D Вернуться
5.Угол между прямыми. В А С H D 6.Углы при секущей. < 90 ˚ а b c 1 2 4 3 5 6 7 8 Пары углов: (2;8); (3;5)-накрест лежащие, (1;5); (4;8); (3;7); (2;6)- соответственные, (3;8); (2;5)- односторонние. 7.Параллельные прямые. а b а || b 8.Признаки и свойства параллельных прямых. а b а || b c 3 5 а b а || b 1 5 c а b а || b 2 5 c <2+<5=180 ˚ Вернуться
Вернуться 9.Аксиома параллельных прямых. а b А Через точку А, не лежащую на прямой b, в плоскости можно провести прямую а, параллельную данной прямой b, и притом только одну. а b с Если две различные прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. 10.Транзитивность параллельных прямых. 11.Связь перпендикулярности с параллельностью. а b с Если две различные прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.
12. Теорема Фалеса. А ₁ А ₂ А₃ А₄ А₅ В ₁ В ₂ В₃ В₄ В₅ Если на одной из двух прямых отложить несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые до пересечения с другой прямой, то и на ней отложатся равные отрезки. 13. Расширенная теорема Фалеса. А ₁ А ₂ А₃ А₄ В ₁ В ₂ В₃ В₄ Если на одной из двух прямых отложить несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые до пересечения с другой прямой, то и на ней отложатся отрезки, пропорциональные данным. А ₁ А ₂: А ₂ А₃:А₃А₄=В ₁ В ₂: В ₂ В₃:В₃В₄ Вернуться
1.Треугольник, его элементы. 2.Признаки равенства. 3.Подобие. 4. Линейные элементы. 5. Площадь. 6. Теоремы синусов и косинусов. 7. Вписанная и описанная окружности. 8. Виды. Вернуться
Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника, называется внешним углом треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним: АВМ= С+ А 1. Треугольник. В А С Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно их соединяющих, называется треугольником. 2. Неравенство треугольника. сторона вершина сторона сторона вершина вершина В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности. В противном случае треугольник не существует: ВС-АС <АВ<ВС+АС… 3. Внешний угол треугольника и его свойство. М 4.Сумма углов треугольника. А+ В+ С=180 ˚. Вернуться
5.Признаки равенства треугольников. В А С В ₁ А ₁ С ₁ В А С В ₁ А ₁ С ₁ В А С В ₁ А ₁ С ₁ По двум сторонам и углу между ними. По стороне и двум углам, прилежащим к ней. По трём сторонам. Вернуться
1.Признаки подобия. 2.Примеры и свойства. Вернуться
6.Признаки подобия треугольников. В А С В ₁ А ₁ С ₁ Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны пропорциональны: А= А₁; В= В₁; С= С ₁; АВ:А₁В₁=АС:А₁С₁=ВС:В₁С₁= k. В А С В ₁ А ₁ С ₁ В А С В ₁ А ₁ С ₁ a b ka kb a b kc c ka kb По двум углам. По двум сторонам и углу между ними. По трём сторонам. Вернуться
7. Примеры и свойства подобных треугольников. В А С В ₁ С ₁ Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. Сходственные биссектрисы, медианы и высоты треугольников пропорциональны сходственным сторонам. Отношение периметров подобных треугольников равно отношению c ходственных сторон (коэффициенту подобия k). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения c ходственных сторон (квадрату коэффициента подобия k ² ). Вернуться
1.Медиана. 2.Высота. Вернуться 3.Биссектриса. 4.Средняя линия.
8. Медиана треугольника. В А С В ₁ С ₁ А ₁ М Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины: АМ:МА ₁ =ВМ:МВ ₁ =СМ:МС ₁ =2:1. Медиана треугольника делит его на два равновеликих (с равными площадями) треугольника. Все медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников. Вернуться
9. Высота треугольника. В А С В ₁ С ₁ А ₁ Н Н В А С В ₁ С ₁ А ₁ Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону. Все высоты треугольника или прямые, их содержащие, пересекаются в одной точке – ортоцентре треугольника. r - радиус вписанной окружности. Вернуться
10. Биссектриса треугольника. В А С В ₁ А ₁ О С ₁ Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, расположенный внутри него. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 1 1. Средняя линия треугольника. В А С М N Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Вернуться
1 2. Площадь треугольника. В А С a b c r- радиус вписанной окружности. R- радиус o писанной окружности. - формула Герона. Вернуться о ₁ о ₂ r R h a
1 3. Теорема синусов. В А С a b c Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов с коэффициентом пропорциональности, равным диаметру описанной окружности. 1 4. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Вернуться
1 5. Описанная окружность. В А С В ₁ С ₁ А ₁ О Около каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендику- ляров к сторонам треугольника. 1 6. Вписанная окружность. О В А С В ₁ С ₁ А ₁ r r r В каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис треугольника. Вернуться R
1.Прямоугольный. 2.Равнобедренный. Вернуться 3.Равностороний (правильный).
1.Определение и свойства. 2.Соотношения. Вернуться 3.Вписанная и описанная окружности. 4.Площадь.
1 7. Прямоугольный треугольник. В А С а катет b катет с гипотенуза Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Теорема Пифагора. Квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине: т с =с:2. т с Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный, и эта сторона является гипотенузой. О Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный. Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы. Вернуться
1 8. Тригонометрические функции острых углов в прямоугольном треугольнике. В А С а b с 1 9. Средние пропорциональные отрезки. Н Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным отрезком гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла является средним пропорциональным отрезком проекций катетов на гипотенузу: Вернуться
20.Вписанная и описанная окружности. В А С а О ₂ О ₁ с b R R R r r r 2 1.Площадь. Н Вернуться
22.Равнобедренный треугольник. В А С Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. вершина боковая сторона боковая сторона Углы при основании равны. Высота, проведённая из вершины, является биссектрисой и медианой. В ₁ С ₁ А ₁ основание Высоты (биссектрисы, медианы), проведённые к боковым сторонам равны. 23.Признаки равнобедренного треугольника. 1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 2. Если в треугольнике высота является биссектрисой или медианой, то этот треугольник равнобедренный. 3. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный. 4. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный. 5. Если в треугольнике 2 высоты (биссектрисы, медианы) равны, то этот треугольник равнобедренный.. Вернуться
24.Равносторонний (правильный) треугольник. В А С В ₁ С ₁ А ₁ О Правильным (равносторонним) называется треугольник, у которого все стороны равны. 25. Свойства. 1.Все углы равны 60 ˚. 2. Точки пересечения медиан, биссектрис, высот, серединных перпендикуляров совпадают. Эта точка называется центром треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей. 3. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении 2:1, считая от вершины. 4. Формулы. 5. Площадь. Вернуться
1.Параллелограмм. 2.Ромб. Вернуться 3. Прямоугольник. 4.Квадрат.
1.Определение и свойства. 2.Признаки. Вернуться 4. Метрические соотношения. Площадь. 3.Свойства биссектрис и высот.
26. Определение. В А С D О Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 27. Свойства. 1.Противоположные углы равны. 3.Противоположные стороны равны. 2.Односторонние углы в сумме составляют 180 ˚. 4.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 1. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом Вернуться 28. Признаки. 2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. 3. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник -параллелограмм.
29. Свойства биссектрис и высот. 1.Биссектриса угла (АА ₁) отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник ( АВ=ВА₁). 2.Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны (АА ₁ и ВМ), а биссектрисы противоположных углов параллельны (ВМ и D К ) или лежат на одной прямой (в ромбе) В А С D А ₁ К М 3. Высоты параллелограмма обратно пропорциональны соответственным сторонам: В А С D 4.Высоты, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу при соседней вершине: Вернуться
30. Периметр. Площадь. В А С D В А С D 31. Соотношения. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырёх его сторон: Вернуться
32. Ромб. В А С D 1.Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы его пополам. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. О 2.Высоты ромба равны. 3. В ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине высоты. 4. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма. 33. Признаки ромба. 5. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб. 6. Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам, то это ромб. 7. Если в четырёхугольнике все стороны равны, то это ромб. 34. Площадь ромба. Вернуться
35. Прямоугольник. В А С D О Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. 1.Диагонали прямоугольника равны. 2.Около прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине диагонали. 3. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма. 36. Признаки прямоугольника. 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник. 2. Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник. 3. Если в четырёхугольнике есть три прямых угла, то это прямоугольник. 37. Периметр и площадь прямоугольника. Вернуться
38. Квадрат. В А С D 45 ˚ Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые. Квадрат обладает всеми свойствами ромба, прямоугольника и параллелограмма. Квадрат является правильным четырёхугольником. d- диагональ, R- радиус описанной окружности r- радиус вписанной окружности a- сторона Вернуться
1.Трапеция. 2.Свойства трапеции. Вернуться 3. Вписанная окружность. 4.Равнобедренная и прямоугольная трапеции.
39. Трапеция. Вернуться Трапецией называется четырёхугольник, две стороны которого параллельны, а две другие нет. В А С D Н M N BC и AD - верхнее и нижнее основания. А B и С D – боковые стороны. АС и В D – диагонали. М N – средняя линия. ВН – высота трапеции, расстояние между основаниями. Площадь трапеции:
40. Свойства трапеции. В А С D L T О 1.Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой. 2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей, подобны. ~ 3. Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики. 4. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится ею пополам и P Q М Вернуться
41. Вписанная окружность. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис углов трапеции и радиус этой окружности О В А С D BC+AD=AB+CD. Вернуться
42. Равнобедренная трапеция. В А С D О Равнобедренной называется трапеция, у которой боковые стороны равны. 1.Углы, прилежащие к одному основанию, равны. 2.Диагонали, равнобедренной трапеции равны. 3.Около равнобедренной трапеции можно описать окружность, центр которой, является точкой пересечения серединных перпендикуляров сторон. В А С D В ₁ С ₁ 4. Высоты трапеции, проведённые из вершин верхнего основания, отсекают от неё равные прямоугольные треугольники. Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основанию. Вернуться
1.Отрезки и дуги. 2.Прямая и окружность. Вернуться 3. Углы в окружности. 5.Вписанная окружность. 6.Описанная окружность. 4.Две окружности. 7.Общие касательные двух окружностей. 8. Круг и его части.
1.Отрезки и дуги. Вернуться 2.Свойства отрезков и дуг.
43. Отрезки и дуги. О М Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки О ( центра окружности). Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности ( PQ и AB). Диаметром называется хорда, проходящая через центр (АВ). Радиусом называется отрезок (ОМ), соединяющий точку окружности с центром. Дугой называется часть окружности, заключённая между двумя её точками. Q P N Две точки на окружности образуют на ней две дуги: PNQ и PMQ Любую из них стягивает хорда PQ. Длина окружности С=2 π R. Длина дуги окружности l = π R α /180. α -градусная мера дуги l = R α, α - радианная мера дуги. Вернуться В А
44. Свойства отрезков и дуг. О М Q P N Диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам тогда и только тогда, когда он перпендикулярен к этой хорде. Т О Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: MT·TN=PT·TQ М Q P N Т Вернуться
1.Прямая и окружность. Вернуться 2. Окружность и две прямые.
44. Прямая и окружность. О М М М ОМ- расстояние от центра окружности до прямой. Если ОМ < R, то окружность и прямая имеют две общие точки : P и Q. И прямая называется секущей окружности. Q P Если ОМ = R, то окружность и прямая имеют одну общую точку: М. И прямая называется касательной к окружности, а точка М – точкой касания. Если ОМ > R, то окружность и прямая не имеют общих точек, не пересекаются. 45. Признак касательной. Прямая является касательной к окружности, тогда и только тогда, когда радиус, проведённый в их общую точку, перпендикулярен прямой Вернуться
46. Две прямые и окружность. О М Если окружность касается сторон угла, то: 1)центр окружности лежит на биссектрисе этого угла; МО-биссектриса, 2)отрезки касательных, заключённых между вершиной угла и точками касания, равны; МР=М Q Q P 47. Касательные и секущие из одной точки. Вернуться A T Y X C B О Если из точки вне окружности к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть: АТ²=АВ·АС=АХ·АУ. Произведения длин отрезков секущих, проведённых из одной точки, равны.
48.Цнтральный угол. С В О Если вершина угла находится в центре окружности, а стороны его пересекают окружность, то этот угол называется центральным (ВОС). Градусная мера дуги (ВС), заключённой внутри центрального угла, равна градусной мере этого центрального угла. α˚ α˚ 49.Вписанный угол. А α˚ /2 Если вершина угла находится на окружности, а стороны его пересекают окружность, то этот угол называется вписанным в окружность (ВАС). Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри его (на которую он опирается). К Вернуться Вписанный угол (РКМ), опирающийся на полуокружность (диаметр) равен 90˚ (прямой). М P Далее
Градусная мера угла (ВКС), стороны которого пересекают окружность, а вершина находится вне её, равна полу разности градусных мер дуг, заключённых внутри этого угла (В₁С₁ и ВРС). Вернуться 50.Свойства вписанных углов. С В А К Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. М 51.Другие углы. Р Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду или равны (ВАС и ВМС), или их сумма равна 180˚ (ВРС и ВМС). D Градусная мера угла (С AD ), между хордой и касательной равна половине дуги, заключённой внутри этого угла (дуги АМС). Т Градусная мера угла (ВТС), вершина которого лежит внутри окружности, а стороны пересекают её равна полу сумме градусных мер дуг, заключённых внутри этого угла и внутри вертикального ему угла (дуг ВРС и С₁АМ). В₁ С₁
52. Две окружности. Вернуться О₁ О₂ d R₁ R₂ R₁+R₂< d О₁ О₂ d R₁ R₁-R₂> d О₁ О₂ d R₁+R₂=d R₂ О₁ О₂ d R₁-R₂=d О₁ О₂ d MN=R₂-R ₁ +d В А M N О₂ О₁ В А M N d MN=R₂+R ₁ -d R₁ и R₂ -радиусы окружностей, d- расстояние между их центрами. Нет общих точек. Касаются Пересекаются
53. Описанная окружность. В А С В ₁ С ₁ А ₁ О Около каждого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендику- ляров к сторонам многоугольника. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов этого четырёхугольника равны 180 ˚. Около прямоугольника (квадрата)всегда можно описать окружность, центр которой лежит в точке пересечения его диагоналей. Вернуться В А С D О
54. Вписанная окружность. О В А С В ₁ С ₁ А ₁ r r r В каждый треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис многоугольника. О В А С D В ₁ С ₁ А ₁ D ₁ В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны. АВ+ CD=DC+AD. Вернуться
55.Общие касательные двух окружностей. О₁ О₂ Если одна окружность лежит вне другой, то у них 4 общих касательных. О₁ О₂ две внутренние касательные две внешние касательные две внешние касательные одна внутренняя касательная Если две окружности касаются внешним образом, то у них 3 общих касательных. d=O₁O₂>R₁+R₂ S d=O₁O₂=R₁+R₂ Далее Вернуться
О₁ О₂ d M Если две окружности касаются внутренним образом, то у них одна общая касательная. О₁ О₂ две внешние касательные Если две окружности пересекаются, то у них есть две общие касательные. О₁ О₂ Если одна окружность лежит внутри другой, то общих касательных нет. Вернуться
сектор сектор 56. Круг и его части. О О О сегмент сегмент В А т С - длина окружности, D=2R - диаметр α –градусная мера дуги сектора п Вернуться
1.Площадь треугольника. Вернуться 2.Отношения площадей. 3.Площадь четырёхугольника. 4.Площадь круга и его частей. 5.Площади правильных многоугольников.
57.Площадь треугольника. В А С r - радиус вписанной окружности, р - полупериметр R - радиус o писанной окружности а b c Вернуться Далее
58. Площадь прямоугольного треугольника. В А С а b c h 5 9. Площадь правильного треугольника. В А С а а а 60˚ Вернуться
Отношение площадей треугольников с равными высотами (общей высотой) равно отношению сторон, соответственных этим высотам 60.Подобные треугольники. В А С М N ~ Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия h В А С М N Вернуться Далее 61. Треугольники с равными высотами.
62.Треугольники с равными сторонами. В А С Е В₁ Е₁ Отношение площадей треугольников с равными сторонами ( с общей стороной) равно отношению высот, проведённых к этим сторонам. В А С М N Отношение площадей треугольников с равными углами( с общим углом ) равно отношению произведений сторон, заключающих эти углы. 63.Треугольники с равными углами. Вернуться
64.Площадь прямоугольника. В А С D O α a b d ₂ d ₁ В А С D a h α d ₂ d ₁ b 66.Площадь ромба. 65.Площадь параллелограмма. В А С D a h d ₂ d ₁ a r - радиус вписанной окружности, р – полупериметр ромба. Вернуться Далее
67. Площадь квадрата. В А С D a d a d 68. Площадь трапеции. В А С D a b h α d ₂ d ₁ N M 6 9. Соотношения площадей в трапеции. O В А С D a b S₁ S₂ Далее Вернуться
70. Площадь произвольного четырёхугольника. α d ₂ d ₁ В А С D 7 1. Площадь ромбоида. Ромбоидом называется четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны d ₂ d ₁ В А С D Вернуться
сектор сектор 72. Круг и его части. О О О сегмент сегмент В А т С - длина окружности, D=2R - диаметр α –градусная мера дуги сектора п Вернуться
... 73. Площадь правильного п-угольника через радиус вписанной окружности. О А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А n ... А k А k+1 ... ... α =2 π |n a R r r - радиус вписанной окружности, P – периметр. Вернуться Далее
... 7 4. Площадь правильного п-угольника через радиус o писанной окружности. О А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А n ... А k А k+1 ... ... α =2 π |n a R r R - радиус o писанной окружности. Вернуться
... 7 5. Правильный п-угольник. О А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А n ... А k А k+1 ... ... α =2 π |n a R r R - радиус o писанной окружности, r- радиус вписанной окружности, а-сторона. Вернуться Правильным называется п-угольник, стороны и углы которого равны. В правильный п-угольник можно вписать и около него можно описать окружность с центром в точке пересечения биссектрис его углов. Далее
76. Частные случаи правильных п-угольников. О R r О R r О R r a a a Вернуться
Закрыть
