1. Chiziqli differensial tenglama 2. Bernulli tenglamasi 3. To‘liq differensialli tenglama 4. Integrallovchi ko‘paytiruvchi
Noma‘lum funksiya va uning hosilasiga nisbatan chiziqli bo‘lgan ko‘rinishdagi tenglama chiziqli differensial tenglama deyiladi. Bu yerda va biror oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar. Agar bo‘lsa, (1) tenglama bir jinsli, aks holda bir jinsli bo‘lmagan chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Umumiy yechim Boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechim
qo‘rinishdagi tenglama Bernulli tenglamasi deb yuritiladi. almashtirish yordamida Bernulli tenglamasi chiziqli tenglamaga keltirishini ko‘rsatamiz. Buning uchun (5) tenglamaning ikkala tarafini ga bo‘lamiz :
Bunda munosabatni inobatga olib, ga nisbatan quyidagi chiziqli tenglamaga ega bo‘lamiz :
Agar tenglamaning chap tomonini birorta U ( x,y ) funksiyaning to‘liq differensiali, ya’ni bo‘lsa, (1) tenglama to‘liq differensialli tenglama deyiladi. Bu holda uni ko‘rinishda yozish mumkin va bu yerdan umumiy integralga ega bo‘lamiz.
Endi U funksiyani topish uchun y ni fiksirlab (4) ni integrallaymiz : ni topish uchun bu tenglikni у bo‘yicha differensiallaymiz : Bu yerdan Demak,
va Demak, berilgan tenglamaning umumiy integrali quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi :
U holda (6) ning umumiy integrali ko‘rinishga ega bo‘ladi. boshlangich shartlarni qanoatlantiruvchi yechim quyidagi formulalarning biri yordamida topilishi mumkin :
Agar (3) shart bajarilmasa, u holda (1) differensial tenglama to‘liq differensialli bo‘lmaydi. Biro q bu tenglamani tegishli funksiyaga ko‘paytirish bilan to‘li q differensialli tenglamaga keltirish mumkin. Bunday funksiya berilgan differensial tenglama uchun integrallovchi ko‘paytuvchi nomi bilan yuritiladi.
Teorema. tenglamaning faqat o‘zgaruvchiga bog‘liq integrallovchi ko‘paytuvchisi mavjud bo‘lishi uchun ifoda ning funksiyasi bo‘lishi zarur va yetarli. Bu holda integrallovchi ko‘paytuvchisi kvadraturalarda ifodalanadi va quyidagi formuladan topilishi mumkin :
Teorema. tenglamaning faqat y o‘zgaruvchiga bog‘liq integrallovchi ko‘paytuvchisi mavjud bo‘lishi uchun ifoda x ning funksiyasi bo‘lishi zarur va yetarli. Bu holda integrallovchi ko‘paytuvchisi kvadraturalarda ifodalanadi va quyidagi formuladan topilishi mumkin :
