1 Элементы функционального анализа Лекция № 22
2 Линейные пространства Определение: Множество Е элементов x, y, z,... называ-ется линейным пространством, если в нем определены две операции: I. Каждым двум элементам множества Е поставлен в соответствии определенный элемент Е, называемый их суммой II. Каждому элементу Е и каждому числу (скаляру) поставлен в соответствие определенный элемент Е - произведение элемента на число
3 Свойства(аксиомы) операций Замечание:
4 Следствия аксиом Во всяком линейном пространстве Е для всякого элемента х можно определить противоположный элемент (-х). (А значит и операцию вычитания y - x ) Нулевой элемент единственен Если Если
5 Примеры линейных пространств 1. Множество векторов в трехмерном пространстве (на плоскости или прямой) 2. Множество R m - всевозможных упорядоченных наборов (столбцов) из m действительных чисел Пусть D - некоторое множество, пусть каждому t поставлен в соответствие элемент x(t) линейного прост-ранства Е. Введем операции:
6 3. Пространство всех многочленов степени, не превы-шающей k : - произвольные вещественные числа 4. Пространство непрерывных функций 5. Пространство k - раз непрерывно дифференцируемых функций 6. Множество M mn всех прямоугольных матриц
7 Линейная зависимость и независимость элементов Линейно зависимые элементы Задача1: Найти к, при котором вектора (1,2,3), (1,1,0) и (к,1,1) линейно зависимы. Задача2: Доказать, что в С [0, p] функции 1, cos(t), cos 2 (t) – линейно независимы, а функции 1, cos(2t), cos 2 (t) – линей-но зависимы.
8 Конечномерные и бесконечномерные пространства Определение: Линейное пространство называется m -мерным, если в нем существует m линейно независимых векторов, а всякие m+1 векторов линейно зависимы. Определение: Набор любых m линейно независимых векторов в m- мерном линейном пространстве Е называ-ется базисом в Е. Задача: Любой вектор m- мерного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векто-ров – разложение вектора по базису. Задача: Разложение вектора х по базису - единственно
9 Бесконечномерное пространство Определение: Линейное пространство Е называется бесконечномерным, если для каждого натурального n в нем существует n линейно независимых элементов. Задача: Пространство С [ a,b] – бесконечномерно Линейное многообразие Определение: Множество М в линейном пространстве Е называется линейным многообразием (линейным множеством), если Примеры:
10 Выпуклые множества в линейных пространствах Определение1: Отрезком, соединяющим точки х 1 и х 2 линейного пространства Е, называется совокупность всех точек вида Определение1: Множество W в линейном пространстве Е называется выпуклым, если для любых двух точек из множества в нем содержится и отрезок их соединяющий. Замечание: Всякое линейное многообразие является выпуклым множеством
11 Выпуклые функционалы Определение: Вещественный функционал р(х) называется выпуклым, если Пусть на линейном пространстве Е задана функция, ставя-щая в соответствие каждому элементу х число р(х). Р(х) – функционал на Е. Теорема: Если p(x) – выпуклый функционал, то множество - выпукло
12 Нормированные пространства Определение: Линейное пространство Е называется нормированным пространством, если каждому его элементу поставлено в соответствие неотрицательное число ||x|| ( норма х ) так, что выполнены 3 аксиомы: - невырожденность - однородность - неравенство треугольника Следствие:
13 Расстояние в нормированном пространстве Из свойств нормы следуют следующие свойства расстояния: Окрестности в нормированном пространстве:
14 Неравенства Гельдера и Миньковского
15 Примеры нормированных пространств 1. В пространстве R m введем норму: Полученное нормированное пространство называют евклидовым Е m Как выглядят окрестности при m = 1, 2, 3? 2. В пространстве R m введем норму: Как выглядят окрестности при m = 1, 2, 3? Полученное нормированное пространство называют c m
16 Примеры нормированных пространств 3. В пространстве R m введем норму: Полученное нормированное пространство называют 4. Иногда используют норму Замечание: Норма 3 является самой общей
17 Последовательности и пределы в нормированном пространстве Пусть {x n } – последовательность элементов в нормированном пространстве Е. Определение: Элемент х 0 называется пределом последо-вательности {x n }, если
18 Свойства сходящихся последовательностей В любой окрестности точки х 0 находятся все члены последовательности {x n } за исключением, может быть их конечного числа; Предел х 0 единственен; Если Если Если Пример1: с m Сходимость покоординатная!
19 Пример2: E m Так как для любого х справедливы неравенства Сходимость также покоординатная
20 Евклидовы пространства Определение: Вещественное линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие вещественное число, (обычно обозначаемое (х,у) ) называемое скалярным произведением, так что выполняются аксиомы:
21 Нормированное евклидово пространство Всякое евклидово пространство можно превратить в нормированное: Аксиомы 1) и 2) выполняются очевидно. Докажем аксиому треугольника.
22 Аксиома треугольника Ортогональность и ортонормированность элементов Если То система векторов х 1,х 2,…. x m – называется ортогональ-ной системой. Теорема: Любая ортогональная система линейно независима
23 Примеры пространств со скалярным произведением 1. E m 2. Пространство непрерывных функций С [a,b] Будем рассматривать системы, состоящие из бесконечного числа элементов пространства Е со скаляр-ным произведением. Введем понятие линейно независимой, ортогональной и ортонормированной сис-тем:
24 Процесс ортогонализации Шмидта Теорема: По любой линейно независимой системе можно построить ортогональную (ортонормированную) систему. Пусть e 1 = x 1. Ищем e 2 в виде:
25 Задача: Построить систему ортогональных многочленов в прост- ранстве L 2 [-1;1] Обычно используют систему ортогональных многочленов Лежандра
26 Линейные операторы в конечномерных линейных пространствах - линейное преобразование векторов Линейное преобразование векторов полностью определяется матрицей Собственные числа и собственные вектора оператора: - спектр оператора (матрицы) - спектральный радиус
27 Норма линейного оператора В зависимости от принятой нормы для векторов можно получить соответствующую матричную норму: Для симметричных матриц
