Основные понятия. Линейные операции над векторами. Векторное пространство. Разложение вектора по базису. Нелинейные операции над векторами.
вектор; длина вектора; свободные векторы; равные векторы; нулевой вектор; коллинеарные векторы; компланарные векторы; n – мерный вектор и его координаты; векторное пространство; линейная комбинация векторов; линейно-зависимая и линейно-независимая система векторов; базис векторного пространства; проекция вектора на ось; проекция точки на ось; координаты вектора в ДСК; направляющие косинусы вектора Основные понятия
длины векторов равны; расположены на одной или параллельных прямых; сонаправленные
№ Геометрический образ Координатная форма записи 1. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ а) правило треугольника: б) правило параллелограмма: а + в = ( х 1 + х 2 ; y 1 + y 2 ; z 1 + z 2 ) в а а + в а в а + в
№ Геометрический образ Координатная форма записи 2. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ а в = ( х 1 х 2 ; y 1 y 2 ; z 1 z 2 ) 3. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО k ka = ( k х 1 ; ky 1 ; kz 1 ) a k a в а а в
Если вектор, то: ; ; , где - угол между вектором a и положительным направлением оси l
№1. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах: = (3; -5; 8) и = (-1; 1; -4). №2. Вектор, заданный в трехмерном пространстве составляет с координатными осями Ох и Оу углы =60˚, β = 120˚. Вычислить его координаты если a = 2. №3. Даны четыре точки,,.,. Выяснить, коллинеарны ли векторы и ? Примеры:
скалярное произведение двух векторов; векторное произведение двух векторов; смешанное произведение трех векторов НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
(переместительное); (сочетательное); (распределительное); ; ; Свойства скалярного произведения
Если a =( a x, a y, a z ), b =( b x, b y, b z ),то Координатная форма скалярного произведения
; ; ; (условие коллинеарности ) Свойства векторного произведения
Если a =( a x, a y, a z ), b =( b x, b y, b z ),то
; если три данных вектора компланарны, то (и наоборот); ; ; если три вектора заданы координатами a =( x 1 ; y 1 ; z 1 ), b =( x 2 ; y 2 ; z 2 ), c =( x 3 ; y 3 ; z 3 ), то смешанное произведение вычисляется по формуле: Свойства смешанного произведения
Приложения нелинейных операций над векторами Скалярное произведение Геометрические приложения Физические приложения
Приложения нелинейных операций над векторами Векторное произведение Геометрические приложения Физические приложения
Приложения нелинейных операций над векторами Смешанное произведение Геометрические приложения Физические приложения
