Лекции – 12 часов Практические занятия – 8 часов Контрольная работа № 1 – зачет Компьютерное тестирование – зачет Экзамен Попов Валерий Андреевич Консультации по пятницам с 15-00 Кафедра математики и информатики (701) 1
Высшая математика для экономистов. Учебник. /Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2010. Высшая математика для экономистов. Практикум. /Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2010. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и практикум. /Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2009. 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85 Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее выше приведенным свойствам (аксиомам), называется векторным пространством. Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Совокупность n линейно независимых векторов n -мерного пространства называется базисом.
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97 Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом: Матрица A, составленная из коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. Матрица A, у которой все элементы, называется симметрической матрицей.
98 В матричной записи квадратичная форма с указанием элементов имеет вид: Квадратичная форма называется канонической, если при всех i ≠ j :
99 Линейное преобразование называется невырожденным, если матрица C линейного преобразования X = CY является невырожденной:. Если X и Y – матрицы-столбцы, то квадратичная форма п ри невырожденном линейном преобразовании имеет вид:. Теорема : Любая квадратичная форма с помощью невырожденного преобразования может быть приведена к каноническому виду.
100 Теорема. Число слагаемых с положительными, или отрицательными коэффициентами канонической формы не зависит от способа приведения формы к этому виду. Теорема. Ранг квадратичной формы (ранг квадратичной формы ) равен числу отличных от нуля коэффициентов квадратичной формы и не меняется при линейных преобразованиях. Каноническая форма называется положительно ( отрицательно ) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, имеет место неравенство:
101 Теорема. Для того, чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы этой квадратичной формы были положительны ( отрицательны). Теорема (критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны. Для отрицательно определенной квадратичной формы знаки главных миноров чередуются, начиная со знака (-) для минора первого порядка.
102 Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k = tg α. У равнение прямой, проходящей через данную точку (, ) в данном направлении :. Если в уравнении угловой коэффициент является произвольным, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку (, ).
103 Уравнение прямой y = kx + b с угловым коэффициентом k = tg α. Уравнение прямой y = kx + b, (+) проходящей через данную точку (, ): = k + b (-) в направлении : k = tg α. .
104 (, ) : ; (-) (, ) : ; (+) ; Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (, ) и (, ) :
105 – уравнение первой степени. При имеем уравнение прямой: , где При, имеем уравнение прямой, параллельной оси Oy :, где При имеем уравнение оси Oy :. – общее уравнение прямой при любых значениях коэффициентов A, B, C, причем и одновременно.
106 Координаты точки пересечения двух прямых могут быть найдены в результате решения этой системы. Если прямые не параллельны, то есть, то решение системы дает единственную точку пересечения этих прямых с координатами.
107 Равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности прямых
108 Равенство я вляется н еобходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых
109 Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в декартовой системе координат определяется уравнением ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 dx + 2 ey + f = 0. a, b, c, d, e, f – вещественные коэффициенты, причем a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0. Для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат, в которой уравнение кривой имеет вид окружности, эллипса, гиперболы или параболы.
110 Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки ( центра О ), лежащей в той же плоскости, что и кривая. Уравнение н азывается нормальным уравнением окружности. – координаты центра О, – радиус окружности.
111 Эллипс – геометрическое место точек X евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и ( называемых фокусами ) постоянна и больше расстояния между фокусами. a – большая полуось ; b – малая полуось ; c – фокальный радиус ; p – фокальный параметр ; – каноническое уравнение эллипса.
112 Гипербола – геометрическое место точек P евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от P до двух выделенных точек и ( называемых фокусами ) постоянно. a – расстояние от центра C до каждой из вершин ; b – длина перпендикуляра, опущенного из каждой из вершин на асимптоты ; – каноническое уравнение
113 Парабола – множество всех точек М, равноудалённых от данной прямой l (называемой директрисой параболы) и данной точки F (называемой фокусом параболы ). – каноническое уравнение параболы ; – параметр параболы ; – фокусное расстояние ; Ox – ось параболы ;
114 Плоскость – алгебраическая поверхность первого порядка, определяемая уравнением первой степени: Уравнение плоскости в отрезках: – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях
115 Плоскости параллельны, если перпендикулярны, если и ли образуют угол, определяемый соотношением
116 Прямая, образованная пересечением двух не параллельных плоскостей, определяется равенствами Уравнение прямой, проходящей через точку, н азывают каноническим уравнением, где
117 и плоскостью, определяется соотношением: Угол между двумя прямыми определяется соотношением:
