ЭЛЕМЕНТЫ теории множеств
В любых делах при максимуме сложностей Подход проблеме все-таки один: Желанье – это множество возможностей, А нежеланье – множество причин. Эдуард Асадов
Теория множеств возникла в результате реализации программы стандартизации математики, разработанной немецким математиком Георгом Кантором (1845–1918). Множество есть «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью» Георг Кантор (1845–1918)
Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия. Бернард Больцано (1781–1848)
В XVIII веке Леонард Эйлер использовал круги в качестве наглядно-графическое изображение множества Леонард Эйлер (1707–1783) “…Эти круглые фигуры, или, вернее, пространства способны облегчить ход наших рассуждений, а также позволяют нам раскрыть все тайны, которыми похваляется логика. С помощью этих символов всё сразу бросается в глаза…”
Джон Венн (1834–1923) В XIX веке сходное изображение множеств использовал английский логик Джон Венн. Он изображал множества прямоугольниками, и использовал эти изображения для доказательства утверждений о множествах
Приведите житейские названия следующих множеств: 1) множество марок, принадлежащих одному человеку; 2) множество пчел, летящих вместе; 3) множество цветных карандашей в коробке; 4) множество военных, подчиняющихся одному командиру; 5) множество футболистов, собравшихся вместе для игры; 6) множество цветов, в руке первоклассницы. Что во всех этих случаях вы понимаете под множеством?
«Множество есть многое, мыслимое как единое целое» Множество - совокупность объектов, определяемых некоторым свойством, присущим каждому из них. Каждый объект, входящий в множество, называется его элементом, а свойство их объединяющее – характеристическим свойством множества.
Символы и обозначения А, В, С, D, … – множества a, b, с, d, … – элементы множества При записи множества перечислением его элементов используют символ «{ }». – символ принадлежности элемента множеству – пустое множество
Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Обозначение | A |.
1) перечисление всех его элементов. A={студент А., рабочий Л., школьник М.} 2) указание общего свойства элементов В - множество четных натуральных чисел. В = { b | b = 2k, k — любое натуральное число}. 3) Символьное обозначение N – множество натуральных чисел Z – множество целых чисел Q – множество рациональных чисел R – множество действительных чисел I – множество иррациональных чисел 4) Указание концов числового промежутка [2 ; 8 ], (0; 6,5) Способы задания множеств
1 0 – 1 Способы задания множеств Задайте множество всех целых чисел, удовлетворяющих неравенству : a ) перечислением элементов; б) заданием характеристического свойства; в) изображением на координатной прямой. { – 1 ; 0 ; 1}
Измените способ задания множества: а) А – множество всех цифр б) в) Измените способ задания множества: а) А – множество всех цифр. б) В = . в) С = .
Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначение: A=B. {a, b, c, d} = {c, b, a, d}
Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A. Обозначение: B ⊂ A. В А Множество, по отношению к которому в данный момент все остальные множества являются подмножествами, называется универсальным множеством. Обозначение: U.
Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношения следующих множеств: 1) R, Z, N, I и Q ; 2) четырехугольников, параллелограммов, прямоугольников, ромбов и квадратов. I N Z Q R четырехугольники парал. П Р К
Установите соответствие между множествами и верными для них высказываниями. 1) А – множество натуральных чисел, кратных 3; В – множество натуральных чисел, не кратных 3 А) А является подмножеством В 2) А – множество натуральных чисел, кратных 6; В – множество натуральных чисел, кратных 2 Б) В включено в А 3) А – множество натуральных чисел, кратных 2; В – множество четных натуральных чисел С) множества А и В равны Д) А и В не пересекаются
Объединением множеств А и В называется множество, все элементы которого являются элементами множества А или элементами множества В. Обозначение: А U B А В А U В
Пересечением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и множеству В одновременно. Обозначение А В
Разностью множеств А и В называется множество, элементами которого являются элементы множества А, не принадлежащие множеству В. Обозначение А \ В. А\B А В
Дополнением к множеству A называется разность между универсальным множеством и множеством A.
Даны множества А={2, 3, 5, 8, 13, 15} В={1, 3, 4, 8, 16} С={12, 13, 15, 16} D={0, 1, 20} Найти
В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учащихся умеют кататься и на коньках и на лыжах?
Каждая из 30 невест, зарегистрированных в клубе знакомств, красива, воспитана или умна. Воспитанных невест – 21, красивых – 18, умных – 15. Красивых и воспитанных – 11, умных и воспитанных – 9, умных и красивых – 7. Сколько невест обладает всеми тремя качествами? В – множество воспитанных невест К – множество красивых невест У – множество умных невест
В – множество воспитанных невест К – множество красивых невест У – множество умных невест У В К 15 21 18 | B |=21, | K |=18, | У |=15 х 21 + 18 + 15 – 9 – 11 – 7 + х = 30 11 9 7 | В ∪ К ∪ У | = 30 х + (9 – х ) + (7 – х ) + (11 – х ) + + (15 – 7 – (9 – х )) + (18 – 11 – (7 – х )) + (21– 9 – (11 – х )) = 30 х = 3
… – – – + А В 1. 2. 3.
