ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Множество — совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. !
Перечисление всех элементов множества Словесное описание множества M = {1, 3, 5, 7, 9 } множество однозначных нечетных чисел A = {x | 10 ≤ x < 100} множество целых двузначных чисел B = {0, 1} цифры двоичного алфавита C = { А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я } гласные буквы русского алфавита Какие множества можно задавать перечислением всех элементов? ?
Описание Обозначение x - элемент множества M ( x принадлежит множеству M ) x ∈ M x не является элементом множества М ( x не принадлежит M ) x ∉ M мощность (количество элементов) множества М | M | пустое множество – множество, в котором нет ни одного элемента ∅ Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A, B, C, …). Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами и обозначаются строчными латинскими буквами.
Для наглядного изображения множеств используются круги Эйлера. Точки внутри круга считаются элементами множества. М х ● М х ● x ∈ M x ∉ M
Если каждый элемент множества P принадлежит множест - ву М, то говорят, что P есть подмножество М, и записывают: P ⊂ М М Р Само множество М является своим подмножеством: М ⊂ М Пустое множество является подмножеством М : ∅ ⊂ М Универсальное множество содержит все возможные подмножества одной приро-ды. Обозначается буквой U. P ⊂ М
Множества M и X не имеют общих элементов: M ∩ X = ∅ P подмножество множества М : М ∩ P = P Пересечение множеств М и М : М ∩ М = М X ∩ Y Пересечение множеств Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов. Обозначается X ∩ Y. ! X Y X ∩ Y
X ∪ Y Объединение множеств X Y X ∪ Y Объединением двух множеств X и Y называется мно-жество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов ( X ∪ Y ). ! M ∪ ∅ = М P подмножество множества М : М ∪ P = М Объединение множеств М и М : М ∪ М = М
X Y X ∪ Y = { Ш,К,О,Л,А,У,Р } X = { Ш,К,О,Л,А } Y = { У,Р,О,К } X ∩ Y = { К,О } X Y Ш Л А К О У Р Ш Л А К О У Р Возможно ли равенство: A В = A В ? ? X = { Ш,К,О,Л,А } Y = { У,Р,О,К }
Пусть множество P является подмножеством множества М. Дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в P. Обозначается или P ’. ! М Р Дополнение М до М : М ’ = ∅ Дополнение пустого множества до М : ∅ ’ = М Дополнение множества М до универсального: M ∪ M ’ = U P ∪ = M
Мощностью конечного множества называется число его элементов. Мощность множества X обозначается | X |. ! Множество Мощность пустое множество | ∅ | = 0 A - множество букв русского алфавита | А | = 33 В = { зима, весна, лето, осень } | В | = 4 Мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества. Два множества являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
|X ∪ Y ∪ Z| = |X| + |Y| + |Z| - |X ∩ Y| - |X ∩ Z| - |Y ∩ Z| + |X ∩ Y ∩ Z| X Y Z Формула включений-исключений Принципом включений-исключений называется формула, позволяющая вычислить мощность объединения (пересечения) множеств, если известны их мощности и мощности всех их пересечений (объединений). ! X Y |X ∪ Y| = |X| + |Y| - |X ∩ Y| X Y |X ∪ Y| = |X| + |Y|
|X ∩ Y ∩ Z| = |X| + |Y| + |Z| - |X ∪ Y| - |X ∪ Z| - |Y ∪ Z| + |X ∪ Y ∪ Z| X Y Z Формула включений-исключений Принципом включений-исключений называется формула, позволяющая вычислить мощность объединения (пересечения) множеств, если известны их мощности и мощности всех их пересечений (объединений). ! X Y |X ∩ Y| = |X| + |Y| - |X ∪ Y| X Y |X ∩ Y| = 0
Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое. Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов. Объединением двух множеств X и Y называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов. Пусть множество P является подмножеством множест - ва М. Дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в P. Мощностью конечного множества называется число его элементов.
- 10 Вопросы и задания В зимний лагерь отправляется 100 старшеклассников. Почти все они увлекаются сноубордом, коньками или лыжами. При этом многие из них занимаются несколькими видами спорта. Всего кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на лыжах — 28, на коньках — 42. Умением кататься на лыжах и сноубор-де могут похвастаться 8 ребят, на лыжах и коньках — 10, на сноуборде и коньках — 5, но только трое из них владеют всеми тремя видами спорта. Сколько ребят не умеет кататься ни на сноуборде, ни на лыжах, ни на коньках? Решение: |S ∪ L ∪ K| = |S| + |L| + |K| - |S ∩ L| - |S ∩ K| - |L ∩ K| + |S ∩ L ∩ K|= = 30 Обозначим через S, L и K множество сноубордистов, лыж-ников и любителей коньков соответственно. Тогда: Ответ: 20 старшеклассников + 28 + 42 - 8 - 5 + 3 =80 = > 100 - 80 = 20
1. Сколько натуральных чисел от 1 до 1000 включительно делятся на 3 или на 5, или на 7? [ 1000 :3] = 333 чисел делятся на 3 [ 1000 : 5 ] = 200 чисел делятся на 5 [ 1000 : 7 ] = 142 числа делятся на 7 [ 1000 : (3·5) ] = 66 чисел делятся на 3 и 5 [ 1000 : (3·7) ] = 47 чисел делятся на 3 и 7 [ 1000 : (5·7) ] = 28 чисел делятся на 5 и 7 [ 1000 : (3·5·7) ] = 9 чисел делятся на 3, 5 и 7 По формуле включений-исключений |X ∪ Y ∪ Z| = |X| + |Y| + |Z| - |X ∩ Y| - |X ∩ Z| - |Y ∩ Z| + |X ∩ Y ∩ Z| получаем: 333 + 200 +142 – 66 – 47 – 28 + 9 = 543 Ответ: 543 числа Решение:
1) 1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6 Ответ: А ∪ В 2) 2 ∪ 5 Ответ: А ∩ В 3) 5 Ответ: А ∩ В ∩ С 4) 2 ∪ 4 ∪ 5 ∪ 6 Ответ : ( А ∩ В ) ∪ ( А ∩ С ) ∪ ( В ∩ С ) 5) 1 ∪ 2 ∪ 3 6) 8 Ответ: А ∪ В ∪ С Ответ: ( А ∪ В ) ∩ С Вопросы и задания 2. Пусть A, B и C - некоторые множества, обозначенные кру-гами, U - универсальное мно-жество. С помощью операций объединения, пересечения и дополнения до универсального множества выразите через A, B и C следующие множества: А В С U 2 1 3 4 6 5 7 8
3. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Каждый владеет хотя бы одним языком. Сколько человек знают все три языка? Укажите множество решений. Решение (один из способов): 1. 100 - 85 = 15 (чел.) – не знают английского Ответ: от 40 до 70 человек включительно Анг. Исп. Нем. ? 2. 100 - 80 = 20 (чел.) – не знают испанского 3. 100 - 75 = 25 (чел.) – не знают немецкого 4. 15 + 20 +25 = 60 (чел.) – могут знать два языка 5. 100 - 60 = 40 (чел.) – знают три языка 4. (15 + 20 +25) : 2 = 30 (чел.) – могут знать только один язык 5. 100 - 30 = 70 (чел.) – знают три языка ИЛИ
