Лекция № 21
2 Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
3 Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
4 Тригонометрические ряды Периодическая кусочно-гладкая функция описывается не степенным, а тригонометрическим рядом. Периодическая кусочно-гладкая функция – определена и непрерывна на всей оси, за исключением заданных точек, в которых она терпит разрыв первого рода, и удовлетворяет равенству: Пример 1. Построить график периодической функции с периодом T = 2
5 Задача: Если f ( x ) и F ( x ) периодические Ряд Фурье Любая кусочно-гладкая периодическая функция с периодом равным 2 p представляется в виде сходящегося тригонометрического ряда:
6 Ортогональность системы тригонометрических функций Интеграл по отрезку [- , ] от произведения двух любых функций, входящих в ряд Фурье равен: нулю, если в подынтегральную функцию входят различные функции системы положительному числу, если подынтегральная функция состоит из квадрата любой функции системы
7
8 Для определения коэффициентов разложения периодической функции в ряд Фурье воспользуемся методом Эйлера – Фурье: последовательно умножаем обе части разложения на cos nx, sin nx и интегрируем
9 Коэффициенты ряда Фурье
10 Сходимость ряда Фурье Теорема. Пусть функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке [- p, p] или они имеют на этом отрезке конечное число точек разрыва. Тогда: ряд Фурье сходится на все числовой прямой. в каждой точке непрерывности f(x) на интервале [- p, p] сумма ряда равна значению функции f(x) в этой точке. в каждой точке разрыва сумма ряда равна полусумме односторонних пределов:
11 на концах отрезка [ -p,p] сумма ряда равна для любой точки вне отрезка [-p,p] предыдущие утверждения справедливы для периодического продолжения функции f(x)
12 Ряды Фурье для четных и нечетных функций f ( x ) – нечетная f ( x ) – четная
