Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 1 Ряды Фурье Рассмотрим последовательность непрерывных функций 1 ( x ), 2 ( x ), 3 ( x ), …, n ( x ), …, (1) заданных на отрезке [ a, b ], среди которых нет функций тождественно равных нулю. Определение. Последовательность функций (1) называется ортогональной на отрезке [ a, b ], если m n. Основная тригонометрическая система функций на [ – l, l ] : (2)
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 2 Ряды Фурье Определение. Пусть система функций 1 ( x ), 2 ( x ), 3 ( x ), …, n ( x ), …, ортогональна на отрезке [ a, b ]. Рассмотрим ряд вида (3) где a 1, a 2, …, a n, … – числа, называемые коэффициентами ряда (3). Пусть ряд (3) сходится равномерно и f ( x ) – его сумма. Выражение (3) называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций n ( x ). Определение. Если { n ( x )} – тригонометрическая система функций (2), то ряд (3) называется тригонометрическим рядом Фурье : (4)
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 3 Тригонометрический ряд Фурье Теорема. Если функция f ( x ) – определена и непрерывна на отрезке [ – l, l ] и разлагается в тригонометрический ряд который можно почленно интегрировать, то это разложение единственное и (5) .
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 4 Тригонометрический ряд Фурье Теорема (Дирихле). Пусть на отрезке [ – l, l ] функция f ( x ) удовлетворяет условиям: 1) f ( x ) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода; 2) f ( x ) монотонна или имеет конечное число точек экстремума. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f ( x ) сходимость во всех точках отрезка [ – l, l ] и его суммой будет функция S ( x ), определенная на этом отрезке следующим образом: а) S ( x ) = f ( x ), если x [ – l, l ] и x – точка непрерывности функции f ( x ) ; б) S ( x ) = ( f ( x – 0 ) + f ( x + 0 ) )/2, если x [ – l, l ] и x – точка разрыва функции f ( x ) ; в) S ( – l ) = S ( l ) = ( f ( – l + 0 ) + f ( l – 0 ) )/2. Причем на любом отрезке [ a, b ] [ – l, l ], не содержащем точек разрыва функции f ( x ), сходимость тригонометрического ряда Фурье будет равномерной.
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 5 Тригонометрический ряд Фурье Замечание. 1. Условия 1) и 2) называются условиями Дирихле. 2. Если представить функцию f ( x ) периодически продолженной на всю ось с периодом 2 , то утверждение теоремы Дирихле будет справедливо для всех x. Если f ( x ) – нечетная функция, то (6) Если f ( x ) – четная функция, то (7)
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 6 Тригонометрический ряд Фурье Если функция f ( x ) задана на отрезке [ 0, l ] и удовлетворяет условиям Дирихле, то ее можно разложить в ряд Фурье: по косинусам продолжив функцию f ( x ) на отрезке [ – l, 0 ] четным образом, полагая f ( –x ) = f ( x ) и коэффициенты вычисляются по формулам (7). по синусам продолжив функцию f ( x ) на отрезке [ – l, 0 ] нечетным образом, полагая f ( –x ) = – f ( x ) и коэффициенты вычисляются по формулам (6).
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 7 Тригонометрический ряд Фурье Если функция f ( x ) – периодическая с периодом Т = 2 l, то для коэффициентов ряда Фурье функции f ( x ) на отрезке [ a, a +2 l ] справедливы формулы: .
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17.06.10 8 Спасибо за внимание
