Определение (степенного ряда). Функциональный ряд вида называется степенным рядом с базисной точкой z 0. При этом { a n } – последовательность констант, z – переменная, z 0 – постоянная, z - z 0 = х, то Определение. Функциональный ряд называется степенным с базисной точкой в нуле.
Определение (радиуса сходимости степенного ряда). Если для ряда существует действительное число R : 0 R + , такое что x < R ряд сходится, x > R – расходится, то R называют радиусом сходимости степенного ряда. Определение (интервала сходимости степенного ряда). Если R – радиус сходимости степенного ряда, то интервалом сходимости данного степенного ряда называется множество точек – R < x < R.
Теорема (о радиусе сходимости степенного ряда). Для каждого степенного ряда существует единственный радиус сходимости R, который можно найти по одной из формул: или Без доказательства. Замечание 1. Если имеется два степенных ряда и, то радиусы сходимости этих рядов одинаковы, несмотря на то, что базисные точки – разные.
Замечание 2. Если радиус сходимости ряда , то интервал сходимости – это множество точек – R < x < R. Для ряда радиус сходимости будет тот же, а интервал сходимости изменится, он будет – R < x – x 0 < R, или x 0 – R < x < R + x 0. Замечание 3. Так как степенной ряд может сходиться на концах интервала сходимости, т.е. при x = R, то после исследования степенного ряда на сходимость в этих точках, концы интервала сходимости присоединяют к интервалу сходимости, если степенной ряд сходится в этих точках.
Свойства степенных рядов. Теорема 1. (о равномерной сходимости степенных рядов). Каждый степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке [- r ; r ], содержащемся внутри интервала сходимости (- R ; R ). Доказательство. (Самостоятельно) Теорема 2. (о непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда непрерывна на любом отрезке [- r ; r ], содержащемся в (- R ; R ). Доказательство. (Самостоятельно)
Теорема 3. (о радиусах сходимости степенных рядов). Если степенной ряд имеет радиус сходимости R, то ряды и имеют тот же радиус сходимости R. Без доказательства.
Теорема 4. (о дифференцировании и интегрировании степенных рядов). Всякий степенной ряд на произвольном отрезке [- r ; r ] (- R ; R ) можно: 1) Почленно дифференцировать. При этом: 2) Почленно интегрировать. При этом: Без доказательства.
Пусть функция f ( x ) бесконечное число раз дифференцируема в окрестности точки x 0 и самой точке. Степенной ряд вида (1) сопоставленный функции f ( x ) называется рядом Тейлора. § 2. Ряды Тейлора. Условия разложимости в ряд Тейлора.
Если x 0 0, то получаем степенной ряд вида: (2) называемый рядом Маклорена, сопоставленный функции f ( x ) в точке 0. Для радов Тейлора возможны три случая: 1) Ряд (1) расходится в точке x 0. 2) Ряд (1) сходится в точке x 0 и ее окрестности, но
3) Ряд (1) сходится в точке x 0 и ее окрестности, причем функция, которой сопоставлен ряд, совпадает с суммой ряда Тейлора: Только в третьем случае говорят, что функция f ( x ) разложима в ряд Тейлора (1). Во всех остальных случаях функции f ( x ) сопоставлен ряд Тейлора:
Теорема (необходимое и достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Пусть функция f ( x ) определена и бесконечное число раз дифференцируема в точке x 0 и ее окрестности. Для того, чтобы f ( x ) была разложима в ряд Тейлора в точке x 0 необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора 0 при n , т.е. r n ( x ) 0 при n . Доказательство. (Самостоятельно) Замечание: Не путать остаточный член формулы Тейлора r n ( x ) с остатком ряда R n ( x ), т.к. это ряд:
Теорема (достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Если функция f ( x ) определена в точке x 0 и ее окрестности, такова что: 1) бесконечное число раз дифференцируема в точке x 0 и ее окрестности; 2) все производные f ( x ) ограничены в совокупности в окрестности точки x 0, т.е. M > 0 для x окрестности точки x 0, f ( n ) ( x ) < M, M = 0,1,2,…. Тогда f ( x ) разложима в ряд Тейлора в этой точке. Доказательство. (Самостоятельно)
Теорема (о связи степенных рядов и рядов Тейлора). Всякий степенной ряд вида на [ a, b ] ( x 0 – R ; R + x 0 ) является рядом Тейлора для своей суммы. Доказательство. (Самостоятельно) § 3. Связь степенных рядов и рядов Тейлора.
Теорема (о единственности разложения в степенной ряд). Если функция f ( x ) разложима в степенной ряд, то это разложение единственно на интервале сходимости. Доказательство. Пусть функция f ( x ) имеет два разложения: По предыдущей теореме на интервале сходимости любой степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы на интервале сходимости, т.е.
Но отсюда следует, что a n = b n, значит разложение единственно. Ч.т.д. Находят все производные функции в точке x 0. f ( n ) ( x ), n = 0,1,2,… 2. Сопоставляют функции f ( x ) ряд Тейлора: § 4. Разложение функций в ряд Тейлора.
3. Находят интервал сходимости полученного ряда 4. На интервале сходимости исследуют саму функцию и все ее производные на ограниченность в совокупности. Если ограничение в совокупности имеет место, то пишут, что по достаточному условию разложимости в ряд Тейлора.
Разложение функции в точке x 0 на практике производится по известному разложению в ряд Маклорена используют замену переменных. Рассмотрим разложение функции е х в ряд Маклорена. е х определена х R. ( е х ) ( n ) = е х, n = 0,1,2,… f (0) = e 0 = 1 Радиус сходимости степенного ряда:
Таким образом, степенной ряд сходится при x. Пусть h – некоторое число > 0. Следовательно, на любом отрезке [- h ; h ] множеству действи - тельных чисел ( е х ) ( h ) < e h n, n = 0,1,2,… Следовательно, ограниченность в совокупности имеет место. Значит: х R.
Пусть нужно функцию е х разложить в ряд по степеням ( х – 2), т.е. в точке x 0 = 2. Рассмотрим: е х = е х -2+2 = е 2 е х -2. Произведем замену: u = x – 2 в точке x 0 = 2, u 0 = 0. Разложение в ряд Маклорена имеет вид: - сходится u R. Тогда: - сходится х R. На практике используют разложения:
Таблица разложения элементарных функций в ряд Тейлора. Область сходимости (для всех): - < x <
Область сходимости ( для всех ) : x < 1.
1. Нахождение пределов последовательностей, функций. 2. Вычисление производных. 3. Приближенные вычисления. Самостоятельно. § 5. Приложения степенных рядов.
Ряды Фурье. § 1. Ортогональность функции на отрезке. Ортогональность тригонометрической системы sin mx, cos mx, m = 1,2,… Определение (ортогональности). Система функций { f n ( x )}, n = 1,2,… интегрируемая на [ a, b ] называется ортогональной на [ a, b ], если:
Тригонометрическая система sin mx, cos mx, m = 1,2,… является ортогональной на [- ; ] (доказать самостоятельно). § 2. Понятие ряда Фурье. Связь тригонометрических рядов и рядов Фурье. Условия разложимости в ряд Фурье. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать, что функция f ( x ) такова, что: 1) определена x R и 2 - периодична; 2) на периоде имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода (с конечным скачком); 3) в точках разрыва первого рода значения функции равны полусуммам односторонних
пределов в этих точках, т.е. если x i – точка разрыва первого рода, то: Функциональный ряд вида называется тригонометрическим рядом. Среди тригонометрических рядов важное значение имеют ряды Фурье.
Определение (ряда Фурье). Тригонометрический ряд называется рядом Фурье, сопоставленным функции f ( x ), при этом пишут, что: если коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам:
Коэффициенты a 0, a n, b n называются коэффициентами Фурье. Для ряда Фурье могут быть следующие возможности: расходится для x R ; 2) сходится для x R, но не к функции f ( x ) ; 3) сходится для x R, причем к функции f ( x ).
В третьем случае говорят, что функция f ( x ) разлагается в ряд Фурье и пишут: Теорема (о связи тригонометрических рядов и рядов Фурье). Всякий тригонометрический ряд сопоставленный функции f ( x ), равномерно сходящийся для x R является рядом Фурье этой функции. Доказательство. (Самостоятельно)
Теорема (о единственности разложения функций в ряд Фурье). Если функция f ( x ) раскладывается в ряд Фурье, то это разложение единственно. Без доказательства. Теорема (об оценке коэффициентов ряда Фурье). Если функция f ( x ) такова что: 1) разложима в ряд Фурье; 2) непрерывна для x R и 2 периодична 3) все производные этой функции до k - того порядка включительно ограничены, т.е. f ( m ) ( x ) < M, m = 0,1,2,…, k, x R. Тогда для коэффициентов ряда Фурье справедлива
следующая оценка: Без доказательства.
