Задача об истечении жидкости через отверстия – одна из основных в гидравлике и решается она уже две тысячи лет, восходя к Герону Александрийскому. Решение ее сводится к определению скорости истечения и расхода вытекающей жидкости. Этот случай движения характеризуется тем, что в процессе истечения запас потенциальной энергии, которой обладает жидкость в резервуаре, превращается с большими или меньшими потерями в кинетическую энергию свободной струи или капель. В зависимости от размеров и формы различают малые и большие отверстия в тонкой и толстой стенках.
ТРУБОПРОВОДЫ (местные потери энергии пренебрежимо малы по сравнению с потерями по длине) КОРОТКИЕ ТРУБЫ (местные потери соизмеримы с потерями по длине) НАСАДКИ (местные потери значительно превосходят потери по длине) ОТВЕРСТИЯ В ТОНКОЙ СТЕНКЕ (длина насадка не влияет на характер истечения)
МАЛОЕ – наибольший вертикальный размер - d<0,1H (напора над отверстием) и скорость истечения постоянна по всему сечению БОЛЬШОЕ – d>0,1H ; скорость и давление в различных точках поперечного сечения струи отличаются, следовательно применять уравнение Бернулли нельзя
«ТОНКАЯ» стенка не влияет на характер истечения, если толщина стенок резервуара δ < 3d (d – диаметр ) «ТОЛСТЫЕ» стенки, НАСАДКИ или КОРОТКИЕ ТРУБЫ влияют на характер истечения, так как струя соприкасается с отверстием только по внутренней кромке, далее отрывается от стенок по всей длине, если толщина стенок (длина трубы) δ >3÷4d ( L > 3÷4d )
полное и неполное сжатие струи, совершенное и несовершенное сжатие струи, истечение из затопленного и незатопленного отверстия истечение при постоянном и переменном напоре.
ПОЛНОЕ сжатие – струя вытекающей жидкости, испытывает сжатие по всему периметру отверстия НЕПОЛНОЕ сжатие – струя подвергается сжатию только на некоторой части периметра (если, например, отверстие располагается в углу или на дне)
СОВЕРШЕННОЕ сжатие – достигается максимальное сжатие струи (на рис. l 1 >3a, l 2 >3b) тогда, наблюдается когда боковые стенки и дно резервуара не влияют на истечение жидкости, т. е. удалены от отверстия на расстояние превышающее утроенный поперечный размер отверстия НЕСОВЕРШЕННОЕ сжатие – достигается при более близком расположении отверстия к направляющим стенкам резервуара
I – полное совершенное II - полное несовершенное III - неполное IV - неполное
Отверстие считается незатопленным, если истечение жидкости происходит в атмосферу. Отверстие считается затопленным, если истечение происходит не в атмосферу, а под уровень жидкости.
При постоянном уровне – установившееся движение жидкости При переменном уровне – неустановившееся движение жидкости
из малых незатопленных отверстий в тонкой стенке при постоянном напоре
Возьмем большой резервуар с жидкостью под давлением P ат, имеющий малое круглое отверстие в стенке на достаточно большой глубине Н от свободной поверхности Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего прилежащего объема, двигаясь ускоренно по различным плавным траекториям. Струя отрывается от стенки у кромки отверстия и затем несколько сжимается. Цилиндрическую форму струя принимает на расстоянии, равном примерно одному диаметру отверстия. Сжатие струи обусловлено необходимостью плавного перехода от различных направлений движения жидкости в резервуаре, в том числе от радиально движения по стенке, к осевому движению в струе
Так как размер отверстия предполагается малым, по сравнению с напором Н и размерами резервуара и свободная поверхность жидкости не влияют на приток струи жидкости к отверстию, то наблюдается совершенное сжатие струи. Степень сжатия оценивается коэффициентом сжатия ε, равным отношению площади поперечного сечения струи в месте сжатия к площади отверстия: ε = w с / w.
Для определения скорости истечения и расхода жидкости составим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2 относительно плоскости сравнения 0–0, проходящей через центр отверстия H + p a / γ + v 0 2 /2 g = p a / γ + v 2 /2 g + h w Потери напора в данном случае представляют собой местные потери на входе в отверстие, т. е.: h w = h м = ζ м v 2 /2 g, здесь ζ м – коэффициент сопротивления отверстия
скорость истечения жидкости: v = φ где φ – коэффициент скорости (для отверстия в тонкой стенке φ = 0,97) коэффициент скорости φ есть отношение действительной скорости к теоретической: φ = v / v т теоретическая скорость истечения по формуле Торричелли равна v т =
Расход жидкости в сжатом сечении можно определить из уравнения неразрывности: Q = w сж v Практически удобнее пользоваться вместо w сж произведением ε w ( где ε коэффициент сжатия для малых отверстий, равный 0,6–0,64), таким образом, можно записать: Q = ε w φ
Произведение ε на φ принято обозначать буквой μ и называть коэффициентом расхода, подставив μ = ε φ получим формулу для расчета расхода жидкости при истечении ее в атмосферу через отверстия и насадки Q = μ w
На основе опытов установлено, что для малого отверстия в тонкой стенке μ колеблется от 0,59 до 0,63, или в среднем μ = 0,61. Это выражение применимо для всех случаев истечения, трудность заключается в достаточно точной оценке коэффициента расхода μ коэффициент расхода представляет собой отношение действительного расхода к теоретическому, который имел бы место при отсутствии сжатия струи и сопротивления Действительный расход всегда меньше теоретического, следовательно, коэффициент μ всегда меньше 1 вследствие влияния двух факторов: сжатия струи и сопротивления
Введенные коэффициенты – сопротивления отверстия ζ, коэффициент расхода μ и коэффициент скорости φ зависят в первую очередь от типа отверстия и насадка, а также как и все безразмерные коэффициенты в гидравлике, от основного критерия гидродинамического подобия – числа Re.
График зависимости коэффициентов от числа Re для круглого отверстия (составлен А.Д. Альштулем), подсчитанного по теоретической скорости истечения
При истечении воды и других жидкостей малой вязкости из отверстий малого диаметра ( d <3 см) и при малых напорах коэффициенты истечения ε, φ, μ могут испытывать заметное влияние поверхностного натяжения. С увеличением поверхностного натяжения при истечении из малых отверстий в тонкой стенке уменьшается коэффициент скорости φ, возрастает коэффициент сжатия струи ε и уменьшается коэффициент расхода μ.
Формы и кромки отверстия Положения отверстия относительно стенок резервуара Режима движения жидкости Поверхностного натяжения жидкости Они рассчитаны для большинства случаев и сведены в таблицы или номограммы
Несовершенное сжатие струи наблюдается в том случае, когда на истечение жидкости через отверстие и на формирование струи оказывает влияние близость боковых стенок резервуара. Ввиду того, что боковые стенки частично направляют движение жидкости при подходе к отверстию, струя по выходе из отверстия сжимается в меньшей степени, чем при истечении из резервуара неограниченных размеров, когда имелось совершенное сжатие. Вследствие уменьшения сжатия струи возрастет коэффициент сжатия струи, а следовательно и коэффициент расхода.
Если направляющие стенки не совпадают ни с одной из кромок отверстия, то наблюдается полное сжатие. В противном случае наблюдается неполное сжатие, для которого: μ неп.сж = μ (1+К n *), где μ – коэффициент расхода при полном сжатии, К – эмпирический коэффициент, n *= א */ א, א * - та часть периметра, по которой сжатие устранено направляющей стенкой, א - полный периметр отверстия
для круга – 0,128, малого квадрата – 0,152, малого прямоугольника – 0,134, прямоугольника шириной 0,2 и высотой 0,16 – 0,157. Павловский Н.Н. рекомендует независимо от формы отверстий принимать К=0,49
В этом случае вся кинетическая энергия струи теряется на вихреобразование, как при внезапном расширении. Для затопленного отверстия формулы для определения скорости и расхода имеют тот же вид, что и для незатопленного отверстия. Разница заключается в том, что под величиной Н подразумевается в случае затопленного отверстия не глубина погружения, а разность уровней в резервуарах : Q = μ з w
Коэффициент сжатия струи ε и коэффициент сопротивления ζ при истечении при затопленном отверстии практически не отличается от соответствующих коэффициентов при истечении через незатопленное отверстие. Опыт показывает, что коэффициент расхода μ з при истечении через затопленное отверстие можно принимать равным коэффициенту μ для незатопленного отверстия
При незатопленном истечении из-под затвора и отсутствии бокового сжатия расход определяют по формуле:
где H – глубина воды перед отверстием; а – высота отверстия; b – ширина отверстия; φ – поправочный коэффициент, учитывающий влияние потерь напора, значение которого можно принимать по таблице, в зависимости от числа Фруда. j 1,04 1,02 0,99 0,975 0,97 0,965 0,96 Fr = v 0 2 /2 gH 0,002 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 > 0,06
Для отверстий любой формы: Q = μ w 0 где Н 0 – полный напор с учетом скорости подхода H 0 = H + v 0 2 /2g v 0 - средняя скорость потока выше отверстия
Одна из основных задач – определить время, за которое происходит понижение уровня или опорожнение t = 2W / Q t – время полного опорожнения W – первоначальный объем Q – первоначальный расход
Гидравлический насадок, это короткая труба для выпуска жидкости в атмосферу или перетекания жидкости из одного резервуара в другой, тоже заполненный жидкостью. Насадками являются не только трубы, но и каналы, отверстия в толстых стенках, а также зазоры между деталями машин. Длина насадка, при которой возможно заполнение всего сечения канала и достигается максимальная пропускная способность для внешних и внутренних цилиндрических насадков, составляет l =(3–4) d.
Насадки бывают трех типов: цилиндрические внешние и внутренние, конически сходящиеся и расходящиеся, коноидальные. Все насадки, как и отверстия, могут работать в затопленном и незатопленном режиме, истечение жидкости через них может быть как при постоянном напоре, так и при переменном.
Типы насадков: а) цилиндрические внешние, б) внутренние, в) конически сходящиеся и г) расходящиеся, д) коноидальные
Для выпуска жидкости из резервуара и водоемов применяют различные цилиндрические насадки. Внешние и внутренние цилиндрические насадки увеличивают расход по сравнению просто с отверстием. Для получения больших выходных скоростей и дальности полета струи жидкости применяют конически сходящиеся насадки в виде пожарных брандспойтов, форсунок для подачи топлива, гидромониторов, для размыва грунта, фонтанных сопел, сопел гидравлических турбин.
Наоборот, для замедления течения жидкости и увеличения давления во всасывающих трубах гидравлических турбин, для замедления подачи смазочных масел применяют конически расходящиеся насадки. Для конических сходящихся и расходящихся насадков существуют оптимальные углы конусности. Наибольшей пропускной способностью обладает коноидальный насадок, продольное сечение которого выполняется по форме вытекающей из отверстия струи. Насадки специальных конструкций применяют в форсунках для распыления топлива.
В коноидальных насадках вход выполняют по форме вытекающей через отверстия струи, а выход – цилиндрическим, благодаря этому обеспечивает безотрывность течения внутри насадка параллейноструйность в выходном сечении. За счет такой формы сжатие струи отсутствует, ε =1 и коэффициенты φ = μ. Это весьма распространенный насадок, так как он имеет коэффициент расхода близкий к единице, и очень малые потери ( ε =1), а также устойчивый режим истечения без кавитации. Значения коэффициента сопротивления те же, что и в случае плавного сужения, т.е. ζ = 0,03-0,10 ( большим числам Re соответствуют меньшие ζ ), φ = μ = 0,99-0,96.
Q = μ н w где μ н – коэффициент расхода, отнесенный к выходному отверстию насадка w - площадь выходного отверстия насадка Н – напор над центром выходного отверстия насадка (или разность напоров при затопленном насадке)
Короткие трубы рассчитывают так же, как цилиндрические насадки, но коэффициенты μ и φ должны учитывать и потери напора по длине. Коэффициенты расхода и скорости в этом случае называют коэффициентами системы. Как и для цилиндрического насадка, сжатие струи на выходе отсутствует, а поэтому μ с = φ с. Потери напора определяются как сумма потерь напора по длине и местных потерь
Коэффициенты расхода для незатопленных труб для затопленных где R = d/4 - гидравлический радиус. Коэффициенты гидравлического трения λ вычисляются либо по графику Никурадзе, либо по соответствующим формулам
