Физический и математический маятники
Физический маятник - произвольное массивное тело, имеющее неподвижную ось вращения и совершающее малые колебания вокруг этой оси.
Колебания физического маятника (1) Основной закон динамики вращательного движения : Момент силы тяжести Проекция момента силы тяжести на ось OZ: Уравнение основного закона динамики вращательного движения в проекциях на OZ :
Колебания физического маятника (2) Проекцию углового ускорения можно представить как (векторы углового перемещения и углового ускорения направлены в противоположные стороны) Теперь уравнение движения маятника принимает вид : При малых углах отклонения маятника a можно считать, что sin a=a, поэтому
Колебания физического маятника (3) Уравнение аналогично дифференциальному уравнению колебаний груза на пружине, следовательно, его решение можно записать в виде Убедимся, что эта функция является решением дифференциального уравнения, для чего найдем ее вторую производную:
Колебания физического маятника (4) Подстановка функции и ее второй производной в дифференциальное уравнение дает: Период гармонических колебаний физического маятника Гармоническая функция является решением дифференциального уравнения, если
Колебания физического маятника (5) Физический маятник совершает гармонические колебания вблизи положения равновесия. Период таких колебаний равен I - момент инерции маятника, m - масса маятника, r - расстояние от оси вращения до центра масс маятника.
Колебания математического маятника Математическим маятником называется точечное тело, подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити и совершающее малые колебания. Очевидно, что математический маятник является частным случаем физического маятника. Момент инерции математического маятника равен где l - длина нити (расстояние от точки подвеса до центра масс).
Колебания математического маятника (2) Так как математический маятник есть частный случай физического, воспользуемся дифференциальным уравнением колебаний физического маятника: Момент инерции математического маятника равен следовательно, Дифференциальное уравнение колебаний принимает вид:
Колебания математического маятника (3) Решением этого уравнения, как было показано ранее, является функция - максимальный угол отклонения нити, - начальная фаза колебаний. Следовательно, математический маятник совершает малые гармонические колебания с циклической частотой где a - угол отклонения маятника от вертикали, и периодом
Колебания математического маятника (4) Формула периода колебаний математического маятника впервые была получена Х. Гюйгенсом и носит его имя. Гюйгенс Христиан (1629 – 1695), нидерландский ученый. Изобрел (1657) маятниковые часы, установил законы колебаний математического и физического маятников.Создал (1678, опубликовал 1690) волновую теорию света, Совместно с Р. Гуком установил постоянные (реперные) точки термометра. Усовершенствовал телескоп. Открыл кольцо у Сатурна и его спутник Титан. Автор одного из первых трудов по теории вероятностей (1657).
Приведенная длина физического маятника Период колебаний математического маятника определяется по формуле Если длина математического маятника Период колебаний физического маятника равен Пусть, тогда откуда то периоды математического и физического маятников совпадают.
Приведенная длина физического маятника (2) Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, у которого период колебаний равен периоду колебаний данного физического маятника. I - момент инерции физического маятника относительно его оси вращения, m - масса физического маятника, r - расстояние от оси вращения до центра масс физического маятника.
Незатухающие колебания в колебательном контуре
Физические процессы в колебательном контуре 1. Конденсатор заряжен. Возникает разность потенциалов. Начинает течь ток. 2. Ток разрядки конденсатора нарастает. В катушке возникает ЭДС самоиндукции. Ток можно представить, как разность токов разрядки и индукционного тока. Заряд конденсатора уменьшается.
Физические процессы в колебательном контуре 3. Конденсатор разрядился. В катушке возникает индукционный ток, приводящий к перезарядке конденсатора. 4. Конденсатор начинает заряжаться зарядом противоположного знака. Индукционный ток уменьшается.
Физические процессы в колебательном контуре 5. Конденсатор перезарядился. Процесс начинается в обратном направлении. Последовательность процессов в колебательном контуре за половину периода незатухающих колебаний
Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний в колебательном контуре Когда конденсатор заряжен, напряжение на нем можно выразить, используя закон Ома: где ε - ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке, i - сила тока, R - сопротивление катушки. Как правило, R мало и им можно пренебречь.
Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний в колебательном контуре Напряжение на конденсаторе Знак «-» означает, что протекание тока в цепи связано с убыванием заряда конденсатора (по цепи проходит тот заряд, который ушел с обкладок конденсатора)
Уравнение незатухающих электромагнитных колебаний Дифференциальное уравнение можно переписать в виде Или где Полученное уравнение аналогично уравнениям колебаний пружинного маятника, физического маятника и т.д. Его решением тоже должна быть гармоническая функция
Заряд конденсатора изменяется по гармоническому закону, q 0 - максимальный заряд конденсатора. Ток в цепи Напряжение на конденсаторе Уравнение незатухающих электромагнитных колебаний
Формула Томсона. Циклическая частота всех этих гармонических колебаний одинакова. Она равна Колебания тока и напряжения отличаются по фазе на
Формула Томсона. Период колебаний (формула Томсона). Джозеф Джон Томсон Уильям Томсон (лорд Кельвин)
Изменение тока и напряжения в процессе незатухающих колебаний в колебательном контуре. Моменты времени t 1, t 2, t 3, t 4 и t 5 на графике соответствуют рисункам 1-5.
Изменение энергии электрического и магнитного полей в процессе незатухающих колебаний в колебательном контуре. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону Потенциальная энергия электрического поля конденсатора
Изменение энергии электрического и магнитного полей в процессе незатухающих колебаний в колебательном контуре. Сила тока в катушке изменяется по закону Потенциальная энергия магнитного поля катушки
Изменение энергии электрического и магнитного полей в процессе незатухающих колебаний в колебательном контуре. Так как
Аналогия между механическими и электромагнитным колебаниями
