профессор Ельцов Анатолий Викторович Ламинарное и турбулентное течения. Ламинарное течение вязкой жидкости в цилиндрических трубах. Формула Пуазейля. Коэффициент вязкости. Гидравлическое сопротивление. Распределение давления при течении реальной жидкости по трубам постоянного, переменного сечения. Число Рейнольдса. Методы определения скорости кровотока. Физические основы клинического метода измерения давления крови.
Если течение плавное и слои жидкости скользят друг относительно друга, траектории разных частиц не пересекаются такое движение называется ламинарным. Турбулентное течение характеризуется наличием завихрений. Внутреннее трение при движении соседних слоев, называемое вязкостью, здесь значительно больше чем при ламинарном течении. Будем считать что жидкости настолько мало сжимаемы что плотность их везде одинакова. При ламинарном течении наличием вязкости жидкости будем пренебрегать. Установившемся (стационарным) движением жидкости считается такое движение скорость течения которого в любой точке не изменяется со временем.
Выберем достаточно малый промежуток времени Δ t. За этот промежуток времени объем жидкости V 1 проходящий через поперечное сечение S 1 будет равен V 1 = S 1 l 1 где l 1 длина пути которая проходит выделенная частица за время Δ t. Поскольку скорость жидкости через сечение S 1 : υ 1 = l 1 / Δ t то масса переносимой жидкости через поперечное сечение S 1 за время Δ t будет равна: Δ m/ Δ t = ρ 1 V 1 / Δ t = ρ 1 S 1 l 1 / Δ t = ρ 1 S 1 υ 1 Аналогично для сечения S 2 : Δ m/ Δ t = ρ 1 V 1 / Δ t = ρ 1 S 2 l 2 / Δ t = ρ 1 S 2 υ 2 Поскольку перенос жидкости через стенки трубки отсутствует то масса переносимой жидкости не изменяется ρ 1 S 1 υ 1 = ρ 1 S 2 υ 2 и соответственно S 1 υ 1 = S 2 υ 2 Это выражение называется уравнением неразрывности.
Из сердца кровь поступает в аорту, оттуда распределяется по главным артериям, затем по более мелким и в конце концов расходится по миллионам крошечных капилляров. По венам кровь возвращается в сердце. Если радиус аорты примерно будет равен 1 см, и кровь по ней движется со скоростью около 30 см / с, то чтобы рассчитать скорость крови в маленьком капилляре, надо знать суммарную площадь поперечного сечения капилляров, а не диаметр одного капилляра. Количество капилляров исчисляется миллиардами, их суммарная площадь поперечного сечения примерно равна 2000 см 2, хотя диаметр одного капилляра равен всего примерно 0,0008 см. υ 2 = υ 1 S 1 / S 2 = 0,30 * 3,14*(0,01) 2 /0, 2= 0,0005м / с=0.5мм /c
В опыте И. Ньютона, в сосуде с исследуемой жидкостью на упругой горизонтальной узкой упругой проволоке (пружине) AB вертикально укреплена небольшая пластина C площади S из материала, смачиваемого исследуемой жидкостью. На малом расстоянии r за ней помещается длинная пластина D. Если заставить пластину D двигаться вверх со скоростью υ, то благодаря внутреннему трению она приведет в движение прилегающие слои жидкости, которые в свою очередь будут действовать на пластину C. В результате пластина C испытает направленную вверх силу F и несколько сместится вверх из положения равновесия. По положению на шкале E конца пружины АВ можно определить величину силы F, если пружина была предварительно проградуирована.
СОЕДИНЕНИЯ ТРУБ РАЗЛИЧНОГО СЕЧЕНИЯ Гидравлическое сопротивление X разветвленного участка сосудистой системы может быть определено по аналогии с расчетом общего электрического сопротивления участка электрической цепи, состоящего из набора отдельных резисторов. последовательное сосудистое русло параллельное ветвление сосудистого русла
При движении жидкости по трубе одинакового сечения гидростатическое давление линейно падает при смещении вдоль направления движения, уменьшается сопротивление, растет скорость. P+ ρ gh+ ρν 2 /2=const
Если скорость течения жидкости велика то течение становится турбулентным и формула Пуазейля будет не справедливой. Рассчитанный по этой формуле поток при определенной разнице давлений будет меньше чем на самом деле, так как при турбулентном течении трение значительно выше чем при ламинарном. Момент наступления турбулентности определяется числом Рейнольдса. Re=2 υ ср r ρ / η где υ ср - средняя скорость течения жидкости, r – радиус трубы, ρ – плотность, η – коэффициент вязкости. Экспериментально установлено при Re меньше 2000 течение ламинарное, при Re больше 2000 турбулентное.
На тело движущееся внутри жидкости действует сила со стороны среды. Эта сила называется силой сопротивления или вязкого трения. Опытным путем установлено что сила вязкого трения пропорциональна скорости движения тела. F v =k υ, значение коэффициента k зависит от размеров и формы тела. Для шара имеем k = 6 π r η, тогда F v = 6 π r ηυ (формула Стокса) есть сила сопротивления действующая на тело сферической формы со стороны жидкости.
На тело массой m движущееся внутри жидкости действуют несколько сил: сила тяжести F Т =mg = ρ T V T g, выталкивающая сила F А = ρ ж g V T, сила сопротивления среды (сила Стокса ) F v = 6 π r ηυ. По второму закону Ньютона после проецирования сил на вертикальную ось получим: F Т - F А - F v = ma или ρ T V T g - ρ ж gV T - 6 π r ηυ v = ma ( ρ T - ρ ж ) gV T - 6 π r ηυ v = ma Первый член уравнения ( ρ T - ρ ж ) gV T - есть эффективный вес тела в жидкости. При падении тела вниз сила вязкого сопротивления возрастает пока она не сравняется с эффективным весом. При этом ускорение тела становится равным нулю и скорость перестает меняться.
( ρ T - ρ ж ) gV T - 6 π r ηυ v = ma ( ρ T - ρ ж ) gV T - 6 π r ηυ v = 0 υ v = ( ρ T - ρ ж ) gV T / 6 π r η в общем случае υ v = ( ρ T - ρ ж ) gV T /k Скорость осаждения микроскопических тел: макромолекул, других составных частей клеток очень мала. Ее можно увеличить с помощью центрифуги, поскольку в центрифуге на частицу действует такая сила, если бы ускорение свободного падения g увеличилось бы до ω 2 r.(где ω угловая скорость вращения центрифуги, r расстояние от частицы до оси вращения. Применительно к центрифуги последнее уравнение запишется так υ v = ( ρ T - ρ ж ) ω 2 r V T /k.
Центрифугирование используется при разделении сходных но различающихся частиц, например макромолекул, а также для получения информации о размере частиц.
На предплечье накладывают манжету и накачивают воздух, пережимая артерию. Ток крови прекращается. Давление воздуха внутри манжеты равно давлению в мягких тканях предплечья. Выпуская воздух, уменьшают давление в манжете. Когда давление в манжете станет равным систолическому (верхнее артериальное давление), то кровь будет способна пробиться через сдавленную артерию. Турбулентное течение. Диастолическое (нижнее) давление соответствует восстановлению ламинарного течения.
Если жидкость налита в широкий сосуд, то жидкость имеет плоскую горизонтальную поверхность. Однако непосредственно у стенок сосуда поверхность жидкости несколько искривлена. Если молекулы жидкости, взаимодействуют с молекулами твердого тела сильнее, чем между собой, в этом случае жидкость стремится увеличить площадь соприкосновения с твердым телом. При этом поверхность жидкости изгибается вниз и говорят, что она смачивает стенки сосуда, в котором находится. Если же молекулы жидкости взаимодействуют между собой сильнее, чем с молекулами стенок сосуда, то жидкость стремится сократить площадь соприкосновения с твердым телом, ее поверхность искривляется вверх, имеет место не смачивание жидкостью стенок сосуда.
В узких трубочках, диаметр которых составляет доли миллиметра, искривленные края жидкости охватывают весь поверхностный слой, и вся поверхность жидкости в таких трубочках имеет вид, напоминающий полусферу. Это так называемый мениск. Он может быть вогнутым, в случае смачивания, и выпуклым, при не смачивании. Явления смачивания и не смачивания характеризуются краевым углом θ между поверхностью твердого тела и мениском в точках их соприкосновения
Наличие сил поверхностного натяжения и кривизны поверхности жидкости в капиллярной трубочке ответственно за дополнительное давление под искривленной поверхностью, называемое давлением Лапласа.
Найдем высоту поднятия жидкости в цилиндрической капиллярной трубочке радиуса r. Пусть жидкость смачивает поверхность трубочки, вследствие чего в последней образуется симметричный вогнутый мениск с радиусами кривизны R. Под искривленной поверхностью вогнутого мениска давление в жидкости, как это было рассмотрено выше, меньше атмосферного давления Р 0 на величину равную давлению Лапласа Pл=2σ/R
Условие равновесия жидкости в капиллярной трубочке определяется равенством P 0 =P 0 -2σ/R+ρgh где ρ – плотность жидкости, h – высота ее поднятия в трубочке, g – ускорение силы тяжести, отсюда h=2σ/ρgR Преобразуем это выражение, выразив радиус кривизны R мениска через радиус капилляра r. r = RcosӨ, в итоге получаем: h=2σ cos Ө/ρg r Это формула Жюрена где r – радиус капилляра, Ө - краевой угол. Для жидкости, которая полностью смачивает стенки капилляра Ө=0, cos Ө =1 h=2σ/ρg r
Пока диаметр газового пузырька меньше диаметра сосуда, он имеет сферическую форму и движется вместе с током крови. Если он попадает в мелкий сосуд, диаметр которого меньше диаметра пузырька, его мениски деформируются под действием динамического давления текущей крови: передний по току крови мениск вытягивается, его радиус кривизны уменьшается, а задний под напором крови уплощается, его радиус кривизны увеличивается. Соответственно, дополнительные молекулярные давления, действующие на эти мениски, будут не одинаковы и направлены навстречу, а их результирующая сила, приложенная к пузырьку, будет направлена против тока крови, противодействуя ему вплоть до остановки кровотока.
Спасибо за внимание!
