Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр.
Ляпунов Александр Михайлович (1857-1918) - выдающийся русский математик, создал теорию устойчивости состояний равновесия и движения механических систем с конечным числом параметров. Работал также в области дифференциальных уравнений, гидродинамики, теории вероятностей.
P( x,y ), Q( x,y )- непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.
Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных образует фазовый портрет системы.
Определение. Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области отклонений от состояния равновесия ( ) можно указать область ( ), окружающую состояние равновесия и обладающую тем свойством, что ни одна траектория, которая начинается внутри области , никогда не достигнет границы .
Типы поведения траекторий в окрестности стационарного состояния (2) (3) (4)
Корни λ 1, λ 2 – действительны и одного знака. Особая точка типа узел
2) Корни λ 1, λ 2 – действительны и разных знаков. Особая точка типа седло
Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом Фазовый портрет, когда один из корней характе- ристического уравнения равен нулю, а другой – отрицательный
(5) (6) Особая точка типа фокус 3) Корни λ 1, λ 2 – комплексные сопряженные
Особая точка –центр 3) Корни λ 1, λ 2 – чисто мнимые
Типы поведения фазовых траекторий в окрестности стационарного состояния для линейной системы
Уравнение изоклины вертикальных касательных Уравнение изоклины горизонтальных касательных Угол наклона касательных с осью Оу Угол наклона касательных с осью Ох Фазовый портрет системы линейных химических реакций
