Однофазные цепи синусоидального тока Астраханский государственный технический университет Кафедра электротехники Начать работу Разработчик: ассистент Сенина О.А. Научный консультант: профессор Зайнутдинова Л.Х. Методические указания к самостоятельной работе студентов
1. Основные теоретические сведения: основные понятия о переменном токе, идеальные и реальные элементы в цепи синусоидального тока. 2. Практическое задание: расчет однофазной цепи синусоидального тока. 3. Математическая поддержка: векторы и действия над ними. 4. Задачи для самостоятельного решения. Продолжить
Переменный электрический ток – это ток, изменяющийся с течением времени. Значение этой величины в рассматриваемый момент времени называется мгновенным значением тока i. Продолжить
Наиболее распространен переменный синусоидальный ток, являющийся синусоидальной функцией времени. Переменный синусоидальный сигнал характеризуется: периодом Т, который выражается в секундах (с), частотой f - величиной, обратной периоду, выражается в герцах (Гц). круговой частотой ω = 2 π f (1/с). Продолжить
Мгновенное значения тока: i = I m sin ( ω t + ψ i ), где i – мгновенное значение тока, А; I m – амплитудное значение тока, А; ω – круговая (угловая) частота, 1/с; ψ i – начальная фаза тока; t – время, с. Синусоидальные величины принято изображать графиками в виде зависимости от ω t. На данном графике ψ i > 0. Продолжить
Аналогично выражаются мгновенные значения напряжения и ЭДС. u = U m sin ( ω t + ψ u ), e = E m sin ( ω t + ψ e ) Продолжить На данных графиках ψ u <0, ψ e =0.
Начальная фаза тока ( ЭДС, напряжения) ψ i, ψ e, ψ u – это значение фазы в момент времени t = 0. Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одной и той же частоты называют сдвигом фаз. Сдвиг фаз между напряжением и током определяется вычитанием начальной фазы тока из начальной фазы напряжения: φ = ψ u – ψ i Продолжить
Действующее значение переменного тока (ЭДС, напряжения) – это среднеквадратичное значение переменного тока (ЭДС, напряжения) за период Т. Если ток, ЭДС или напряжение изменяются по синусоидальному закону, то действующее значение составляет : Продолжить
Представление синусоидальных величин вращающимися векторами Продолжить Для представления синусоидально изменяющейся величины a=A m sin( ω t+ ψ ) с начальной фазой ψ вращающимся вектором построим радиус-вектор A m этой величины длиной, равной амплитуде A m и под углом ψ к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета t =0.
Представление синусоидальных величин вращающимися векторами Продолжить Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью ω против направления движения часовой стрелки, то его проекция на вертикальную ось будет равна A m sin( ω t+ ψ ). Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.
В резистивном элементе происходит преобразование электрической энергии в тепловую. Если приложено синусоидально изменяющееся напряжение u = U m sin ω t, То, по закону Ома, мгновенное значение тока в цепи: i = u/R = (U m / R) sin ω t = I m sin ω t Продолжить Цепь переменного тока с резистивным элементом
Цепь переменного тока с резистивным элементом Продолжить U Rm =R I m U R =R I Напряжение и ток совпадают по фазе и в любой момент времени значения тока и напряжения пропорциональны друг другу.
Цепь переменного тока с индуктивным элементом Индуктивный элемент создает магнитное поле. Если ток синусоидальный i = I m sin ω t, то тогда u = - e = L (d i/d t)= U Lm cos ω t = U Lm sin ( ω t+ π /2) Продолжить U Lm = ω L I m Величина Х L = ω L – индуктивное сопротивление, Ом. Напряжение на индуктивном элементе по фазе опережает ток на угол φ = π /2.
Неразветвленная цепь переменного тока с резистивным и индуктивным элементами Продолжить
Неразветвленная цепь переменного тока с резистивным и индуктивным элементами Напряжение опережает по фазе ток на угол φ : Действующее значение напряжения U (В): Полное сопротивление цепи Z ( Ом): Ток в цепи I (A) : Продолжить
Емкостный элемент создает электрическое поле. Если в цепи проходит ток i= I m sin ( ω t ), i=dq/dt=C(du C /dt), то тогда напряжение то есть напряжение отстает от тока на угол π /2. Действующее значение тока в цепи: I=U/X C, где Х С =1/( ω С) – емкостное сопротивление, Ом. Продолжить
Неразветвленная цепь переменного тока с резистивным и емкостным элементами Напряжение на зажимах цепи Действующее значение напряжения Разность фаз Продолжить
Неразветвленная цепь переменного тока с резистивным, индуктивным и емкостным элементами Значение напряжения на зажимах этой цепи равно сумме значений трех составляющих: Действующее значение Продолжить
Неразветвленная цепь переменного тока с резистивным, индуктивным и емкостным элементами Сдвиг фаз между напряжением и током: Продолжить Х= X L -X C – реактивное сопротивление
Мощности цепи Активная мощность, Вт: P = U I cos φ = U R I = I 2 R Реактивная мощность, вар: Q = U I sin φ = (U L – U C )I= I 2 X Полная мощность, ВА: S = U I = I 2 Z = Продолжить
Резонанс напряжений В неразветвленной цепи R-L-C при равенстве реактивных сопротивлений X L =X C наступает резонанс напряжений Полное сопротивление принимает минимальное значение, равное активному сопротивлению: Z = R. Падения напряжений U L и U C находятся в противофазе. При резонансе U L =U C равны между собой и приобретают максимальное значение. Ток в цепи имеет наибольшее значение I=U/R и совпадает по фазе с напряжением, то есть φ =0 и коэффициент мощности cos φ =1. Продолжить
Цепь с параллельными ветвями Рассмотрим разветвленную цепь, состоящую из двух ветвей. Ток неразветвленной части цепи может быть определен по закону Ома: I = U/Z = UY, где Y -полная проводимость цепи. Продолжить
Цепь с параллельными ветвями Продолжить Активная проводимость цепи G равна арифметической сумме активных проводимостей параллельных ветвей:
Цепь с параллельными ветвями Продолжить Реактивная проводимость цепи B равна разности индуктивных и емкостных проводимостей параллельных ветвей.
Цепь с параллельными ветвями Продолжить В цепи можно получить резонанс токов при условии равенства проводимостей B L =B C, тогда полная проводимость цепи Y=G. Угол сдвига фаз φ между током I и напряжением U в неразветвленной части цепи равен нулю, так как реактивные составляющие токов в ветвях I p1 и I p2 равны между собой и находятся в противофазе. Цепь обладает только активной мощностью.
Компенсация реактивной мощности Продолжить Идея компенсации реактивной энергии индуктивного потребителя заключается в подключении к нему емкостного потребителя, в результате чего потребление реактивной энергии всей установкой уменьшается. Схема замещения индуктивного потребителя содержит резистивный и индуктивный элементы с сопротивлениями R и X L, активная мощность Р и напряжение U потребителя заданы.
Компенсация реактивной мощности Продолжить Ток потребителя I п отстает по фазе от напряжения U на угол φ п и может быть представлен как сумма двух составляющих: активной I a и реактивной I p. Активная составляющая тока Ia определяет его активную мощность Р= UIa и при заданных значениях P и U должна остаться неизменной. Возможно уменьшение реактивной составляющей тока I р.
Компенсация реактивной мощности Продолжить Необходимо включить параллельно индуктивному потребителю батарею конденсаторов, чтобы повысить коэффициент мощности потребителя cos φ п до заданного значения cos φ.
Компенсация реактивной мощности Продолжить Ток батареи конденсаторов I C, которая подключается параллельно индуктивному потребителю, должен быть равен разности реактивных составляющих токов потребителя до компенсации I p и после компенсации I p1.
Компенсация реактивной мощности Продолжить С другой стороны, ток I C =U/X C, I a =P/U Тогда Откуда искомое значение емкости конденсатора Обычно при помощи батареи компенсацию реактивной мощности осуществляют до cos φ =0,90 0,95.
К однофазной цепи синусоидального тока напряжением U ном = 220 В подключены потребители: однофазный трансформатор ОСМ-0,16, cos φ = 0,8; однофазный асинхронный двигатель ДГ-2-0,14, Р ном =140Вт, η =66%, cos φ =0,65; светильники 60 Вт, 2 штуки. Составить эквивалентную схему замещения потребителей и определить параметры ее элементов. Рассчитать емкость батареи конденсаторов, которую нужно подключить к потребителю для снижения реактивной мощности до нуля. Продолжить
Схемы замещения трансформатора и двигателя представляют собой совокупности активного и индуктивного элементов, светильники являются активными элементами. Все потребители соединяются параллельно. Продолжить
Для определения параметров схемы замещения рассматриваем каждую из параллельных ветвей цепи отдельно. Расчет трансформатора: Число 0,16 в маркировке трансформатора означает его полную мощность, выраженную в киловольтамперах, то есть: S тр =0,16 кВА =160 В A P тр =S тр cos φ тр =128 Вт ток I тр =S тр /U=160/220=0,727 A сопротивления: Z тр =U/I тр =220/0,727=302,613 Ом R тр =P тр /I тр 2 =128/0,727 2 =242,182 Ом Продолжить индуктивность L тр =Х L /2 π f=0,578 Гн
Расчет двигателя: Сначала необходимо определить активную мощность, потребляемую двигателем из сети: Р дв =Р ном / η дв =140/0,66=212,121 Вт полная мощность S дв =P дв /cos φ дв =212,121/0,65=326,34 BA ток I дв =S дв /U= 326,34 /220= 1,483 A сопротивления: Z дв =U/I дв =220/ 1,483 = 148,348 Ом R дв =P дв /I дв 2 = 212,121 / 1,483 2 = 96,45 Ом Продолжить индуктивность L дв =Х L дв /2 π f= 0,359 Гн
Расчет светильников Так как мощность светильников одинакова, значит параметры светильников будут равны между собой: токи I 1 =I 2 =P св /U= 60/220=0,273 А сопротивления R 1 =R 2 =P св /I 2 = 60/0,273 2 = =805,056 Ом Продолжить
Определяем проводимости: активные: G тр =R тр /Z тр 2 =242,182/302,613 2 =0,002644 См G дв = R дв /Z дв 2 = 96,45 / 148,348 2 = 0,004383 См G 1 = G 2 =1/ R 1 =1/R 2 =1/805,056= 0,001242 См Эквивалентная активная проводимость цепи: G = G тр +G дв + G 1 +G 2 =0,009511 См Продолжить
Определяем проводимости: реактивные: B тр =X L тр /Z тр 2 =181,446/302,613 2 =0,001981 См B дв = X L дв /Z дв 2 =112,714/ 148,348 2 = 0,00 5122 См B 1 = B 2 =0 Эквивалентная реактивная проводимость цепи: B = B тр +B дв =0,00 7103 См Эквивалентная полная проводимость Продолжить
Определяем эквивалентные сопротивления всей цепи, индуктивность, ток и активную мощность: Z экв =1/Y=1/0,01 1 9= 84, 0336 Ом R экв =G/Y 2 =6 7,1633 Ом X L экв =B/Y 2 =5 0, 1589 Ом L экв = X L экв / 2 π f=0,1 597 Гн I экв =U/Z экв = 2,618 А Р= R экв I экв 2 = 460,3322 Вт Продолжить
Определяем: tg φ п = tg φ экв = X L экв /R экв = =5 0,1589 /6 7,1633 =0, 747 По условию задачи tg φ =0. Продолжить 2. Подключаем блок конденсаторов для снижения реактивной мощности
Параметры диаграммы: I экв = 2, 61 8 А I C =U/X C =U ·2 π fC=1, 17 A φ п = φ экв = arctg(X L экв /R экв )=arctg 0, 747 = 36,8 ° φ =0 Масштаб выбираем произвольно, например 1см = 0,5 А Продолжить Построим векторную диаграмму токов (повторить сложение векторов) Таким образом, при полной компенсации реактивной мощности I=I экв cos φ пр = = 2,09 6 A
I экв = 2, 61 8 А φ п =36,8 ° Продолжить Покажем построение графиков мгновенных значений тока и напряжения для эквивалентной схемы Мгновенные значения токов и напряжения определяются: i = I m sin ( ω t + ψ i ) u = U m sin ( ω t + ψ u ) φ п = ψ u – ψ i =36,8 ° Примем ψ u =0, тогда ψ i = - 36,8 ° = =- (36,8 ° /180 ° ) π = - 0,204 π радиан
Продолжить i = 3, 7024 sin ( ω t - 0,204 π ), u = 311,127 sin ω t
I С = 1,17 А φ С = - 90 ° Продолжить Покажем построение графиков мгновенных значений для емкостного элемента Мгновенные значения токов и напряжения определяются: i = I m sin ( ω t + ψ i ) u = U m sin ( ω t + ψ u ) Примем ψ u =0, тогда ψ i = 90 ° = π /2 радиан
Продолжить i = 1,65 sin ( ω t + π /2 ), u = 311,127 sin ω t
Продолжить i = 2,964 sin ω t, u = 311,127 sin ω t Построение графиков мгновенных значений входного напряжения и тока I = 2,096 A
Задачи для самостоятельного решения К однофазной цепи синусоидального тока напряжением U н = 220 В подключены потребители, типы и характеристики которых приведены в таблице. Для светильников cos φ =1. Составить эквивалентную схему замещения потребителей и определить параметры ее элементов. Рассчитать емкость батареи конденсаторов, которую нужно подключить к потребителю для снижения реактивной мощности до нуля.
№ п/п Однофазный трансформатор Однофазный асинхронный двигатель Светильники Р ном, Вт х кол-во тип cos φ тип Р ном, Вт η, % cos φ 1 ОСМ-0,4 0,78 4ААЕ56В2 120 53 0,76 40x2 2 ОСМ-0,063 0,75 АОЛБО 11-4 18 22 0,62 25x2 3 ОСМ-0,25 0,85 4ААТ56А4 120 51 0,90 25x2 4 ОСМ-0,1 0,75 АОЛБ012-4 30 28 0,62 40x2 5 ОСМ-0,16 0,85 4ААЕ56А4 60 37 0,70 15x3 6 ОСМ-0,063 0,75 АОЛБ11-4 50 34 0,62 25x2 7 ОСМ-0,4 0,85 4ААТ56В4 120 51 0,90 40x2 8 ОСМ-0,1 0,8 АОЛБ12-4 80 41 0,62 40x2 9 ОСМ-0,1 0,85 4ААУ56В4 90 39 0,65 25x2 10 ОСМ-0,25 0,75 АОЛБ21-4 120 47 0,62 60x2 11 ОСМ-0.063 0,85 4ААТ50А2 60 56 0,80 15x3 12 ОСМ-0,4 0,75 АОЛБ22-4 180 53 0,62 60x3 13 ОСМ-0,16 0,82 4ААЕ50А2 40 51 0,68 15x2 14 ОСМ-0,63 0,75 АОЛБ31-4 240 60 0,62 40x4 15 ОСМ-0,25 0,8 4ААТ50В2 90 60 0,9 40x2
№ п/п Однофазный трансформатор Однофазный асинхронный двигатель Светильники Р ном, Вт х кол-во тип cos φ тип Р ном, Вт η, % cos φ 16 ОСМ-1,0 0,75 АОЛБ32-4 400 67 0,62 200x2 17 ОСМ-0,16 0.8 4ААЕ50В2 60 53 0,59 25x2 18 ОСМ-0,063 0,78 АО Л Б011 -2 30 41 0,68 15x2 19 ОСМ-0,1 0,82 4ААТ50А4 40 50 0,67 15x3 20 ОСМ-0,16 0,78 АОЛБ012-2 50 48 0,70 15x3 21 ОСМ-0,063 0.82 4ААУ50А4 25 23 0,51 15x2 22 ОСМ-0,1 0.78 АОЛБ11-2 80 51 0,72 25x3 23 ОСМ-0,1 0.8 4ААТ50В4 60 55 0,82 25x2 24 ОСМ-0,16 0,78 АОЛБ12-2 120 55 0,72 40x2 25 ОСМ-0.063 0.8 4ААЕ50В4 40 28 0,54 15x2 26 ОСМ-0,25 0,78 АОЛБ21-2 180 59 0,72 80x2 27 ОСМ-1,0 0,78 АОЛБ32-2 600 69 0,72 100x5 28 ОСМ-0,4 0,78 АОЛБ22-2 240 63 0,72 40x5 29 ОСМ-0,63 0,78 АОЛБ31-2 400 66 0,72 100x3 30 ОСМ-0,1 0,9 АВЕО42-4 18 40 0,90 15x2
№ п/п Однофазный трансформатор Однофазный асинхронный двигатель Светильники Р ном, Вт х кол-во тип cos φ тип Р ном, Вт η, % cos φ 31 ОСМ-0,63 0,78 4ААТ56В2 180 64 0,94 60x2 32 ОСМ-0.063 0,78 АВЕО41-4 10 30 0,90 15x2 33 ОСМ-0,1 0,78 4ААУ56А2 90 50 0,82 25x2 34 ОСМ-0,4 0,78 АВЕО72-2 400 72 0,95 100x3 35 ОСМ-0,16 0,78 4ААТ56А2 120 45 0,95 15x5 36 ОСМ-0,25 0,78 АВЕ071-2 270 70 0,95 60x3 37 ОСМ-0,25 0,9 4ААУ63В4 180 47 0,65 40x4 38 ОСМ-0,16 0,78 АВЕ062-2 180 68 0,96 40x3 39 ОСМ-0,4 0,9 4ААТ63В4 250 58 0,90 60x3 40 ОСМ-0,1 0,78 АВЕ061-2 120 66 0,95 25x3 41 ОСМ-0,4 0,9 4ААЕ63А4 120 46 0,65 25x4 42 ОСМ-0,25 0,85 АВЕ052-2 80 58 0,95 15x4 43 ОСМ-0,4 0,75 4ААЕ63В2 250 62 0,75 80x2 44 ОСМ-0,16 0,85 ABE05 1 -2 50 55 0,90 25x2 45 ОСМ-0,16 0,9 4ААТ63А4 180 62 0,90 60x2
№ п/п Однофазный трансформатор Однофазный асинхронный двигатель Светильники Р ном, Вт х кол-во тип cos φ тип Р ном, Вт η, % cos φ 46 ОСМ-0,1 0,95 АВЕ042-2 30 50 0,90 15x2 47 ОСМ-0,63 0,75 4ААТ63В2 370 68 0,95 100x3 48 ОСМ-0,063 0,85 АВЕ041-2 18 40 0,90 15x2 49 ОСМ-0,16 0,75 4ААЕ63А4 120 46 0,65 25x3 50 ОСМ-0,63 0,85 4АХТ71А2 550 64 0,95 200x2 51 ОСМ-0,25 0,75 4ААТ63А2 250 66 0,95 40x5 52 ОСМ-0,4 0,8 4АХЕ71А2 370 55 0,74 100x3 53 ОСМ-0,4 0,82 4АХЕ71В4 370 51 0,70 60x4 54 ОСМ-1,0 0,8 4АХТ71В2 750 66 0,95 150x4 55 ОСМ-1,0 0,82 4АХТ71В4 550 66 0,92 100x4 56 ОСМ-0,63 0,8 4АХЕ71В2 550 60 0,83 150x3 57 ОСМ-0,25 0,82 4АХЕ71А4 250 50 0,70 40x4 58 ОСМ-0.4 0,8 4АХТ71А4 370 62 0,92 100x2 59 ОСМ-0,4 0,85 4ААУ63В2 250 62 0,75 60x2 60 ОСМ-0,1 0,82 АВЕ061-4 80 56 0,95 25x2
№ п/п Однофазный трансформатор Однофазный асинхронный двигатель Светильники Р ном, Вт х кол-во тип cos φ тип Р ном, Вт η, % cos φ 61 ОСМ-0,1 0,85 4ААУ63А4 120 46 0,65 40x2 62 ОСМ-0,063 0,9 АВЕ052-4 50 50 0,90 25x2 63 ОСМ-0,25 0.85 4ААУТ63В4 250 58 0,90 80x2 64 ОСМ-0,16 0,82 АВЕ062-4 120 60 0,95 25x4 65 ОСМ-0,16 0,85 4ААЕ63В4 180 47 0,65 60x2 66 ОСМ-0,25 0,82 АВЕ071-4 180 63 0,95 40x3 67 ОСМ-0,1 0,75 4ААЕ56А2 90 50 0,82 25x2 68 ОСМ-0,4 0,83 АВЕ072-4 270 63 0,95 60x3 69 ОСМ-0,16 0,75 4ААУ56В2 120 53 0,76 40x2 70 ОСМ-0,063 0,82 ДГ-0,07 70 60 0,54 15x3 71 ОСМ-0,4 0,8 ДГ-2-0,2 200 71 0,71 40x4 72 ОСМ-0,1 0,8 ДГ-0,115 115 66 0,63 40x2 73 ОСМ-0,25 0,8 ДГ-2-0,18 180 71 0,63 40x3 74 ОСМ-0,16 0,8 ДГ-2-0,14 140 66 0,65 60x2 Закончить работу
Вектор – направленный отрезок, имеет определенную длину, направление указывает стрелка. Вектор Вектор Отрезок AB Продолжить
Сложение векторов Правило параллелограмма : для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Продолжить
В нашем случае откладываем в качестве основного вектор напряжения цепи. Строим векторы тока в произвольно выбранном масштабе: ток I C на конденсаторе опережает напряжение на угол 90 °, ток I экв отстает на угол 36,8 ° (положительное направление угла – против часовой стрелки): Продолжить
На данных векторах I С и I экв достраиваем параллелограмм. Продолжить
Тогда диагональ параллелограмма покажет вектор тока I – сумму векторов I С и I экв. При правильном расчете и построении векторы тока I и напряжения U должны совпадать по направлению ( φ =0 ). Вернуться в задачу
