Электрические цепи синусоидального тока Токи, напряжения и ЭДС, значения которых периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называют синусоидальными ( гармоническими ). По сравнению с постоянным током синусоидальный имеет ряд преимуществ. В частности, производство, передача и использование электрической энергии наиболее экономичны при синусоидальном токе, в цепях синусоидального тока относительно просто преобразовывать форму напряжения, а также создавать трехфазные системы напряжения. Синусоидальные токи широко используют в радио-, связной и контрольно-измерительной технике и других областях. В зависимости от типа решаемой задачи синусоидальные функции представляют: • в виде аналитических выражений; • графически, посредством временной или векторной диаграмм; • в виде комплексных функций (комплексных чисел).
Параметры синусоидальных электрических величин В зависимости от типа решаемой задачи синусоидальные (гармонические) функции представляют: вещественными функциями времени (в виде аналитических выражений): e(t) = E m sin ( ɷt + ψ e ), u(t) = U m sin ( ɷt + ψ u ), i(t) = I m sin ( ɷt + ψ i ), где е, u,i - мгновенные значения соответственно ЭДС, напряжения, тока; ɷ t + ψ e, ɷ t + ψ u, ɷ t + ψ i — аргументы (фазы) синусоидальных функций. графически, посредством временной или векторной диаграмм ; • в виде комплексных функций (комплексных чисел).
Угловая частота ɷ [рад/с] — скорость изменения фазы Угловая частота показывает насколько фазовый угол синусоиды изменился за период Она определяет число периодов в интервале времени, равном Синусоидальная функция - периодическая функция времени (через равный промежуток времени, наз. периодом T, цикл колебаний повторяется). Периоду Т соответствует фазовый угол 2π или 360° При построении временной диаграммы за аргумент синусоидальной функции, например напряжения u ( t), принимают время t (чему соответствуют период T и начальное время t 0 = ψ u / ɷ ) или угол ɷ t (чему соответствуют период ɷ T = 2 p и начальная фаза ψ u в радианах). Угол ψ u часто выражают в градусах. Тогда аргумент ɷ t также переводят в градусы (1 рад ≈ 57,3°). В этом случае период ɷ T составляет 360°. Величину, обратную периоду Т, наз. циклической частотой : (Гц) Фаза (мгновенный фазовый угол) гармонической функции в радианах (рад) или градусах — аргумент синусоидальной функции, отсчитываемый от нулевого значения функции в положительном направлении, например, фаза напряжения. Начальная фаза (начальный фазовый угол) — значение фазы при t = 0; Сдвиг фаз между двумя синусоидальными функциями — разность начальных фаз этих двух функций.
Среднее значение гармонического тока i(t) = I m sinw t за период T равно нулю, то под средним значением тока i(t) понимают среднее в интервале времени T/2 Действующий ток (напряжение) - основной эксплуатационный параметр цепей синусоидального тока, т.к. тепловое действие тока и механическая сила взаимодействия проводников с токами пропорциональны квадрату тока (произведению токов). Шкалы большинства измерительных приборов (амперметров, вольтметров) проградуированы на эти значения.
Мгновенное значение ЭДС Мгновенное значение напряжения Мгновенное значение тока Im, Um, Em - амплитудные значения тока, напряжения и ЭДС (ω t + ψ )- аргумент синуса, который определяют фазовый угол синусоидальной функции в данный момент времени t (фаза) Ψ – начальная фаза
Знак «+» или «-» перед начальной фазой означает, сколько не хватает градусов, чтобы наша функция выходила из начала координат.
Расчет действующих значений Расчет среднего значения
Формула Эйлера: Результат:
Длина вектора А: Угол между вектором и осью:
Сложение и вычитание: Умножение и деление:
Единичные комплексы Действия с j
Комплексное сопротивление: Модуль комплексного сопротивления: Комплексное сопротивление через действующие значения: Закон Ома для амплитудных значений: Закон Ома для действующих значений:
В алгебраической форме Z = R + jX, где R - активное сопротивление, X - реактивное сопротивление R = Z cosφ, R ≥0 X = Z sinφ Причем реактивное сопротивление может быть положительным, отрицательным или равное нулю.
Полная мощность: Комплексное действующее значение напряжения: Сопряженный комплекс тока:
Активная мощность: Реактивная мощность: ( ВА –вольт-ампер) (Вт – ватт) (ВАр – вольт-ампер реактивный)
Для каждого элемента необходимо определить: Угол сдвига фаз между напряжением и током (угол φ), построить векторную диаграмму Полное комплексное сопротивление ( Z ) Энергетическую характеристику цепи ( P, Q, S )
Начальная фаза Угол сдвига фаз
Комплексное сопротивление резистивного элемента всегда является действительным положительным числом, которое равно значению активного сопротивления R. Закон Ома:
На резистивном элементе полная мощность равна активной мощности. Это означает, что на резисторе совершается работа по преобразованию электрической энергии в другие виды энергии.
Начальная фаза Угол сдвига фаз
Комплексное сопротивление L- элемента всегда является мнимым положительным числом, модуль которого равен Х L. Реальная катушка имеет активное сопротивление, определяемое сопротивлением проводов, поэтому полное комплексное сопротивление равно: Закон Ома:
На L –элементе происходит обмен энергией между источником электрической энергии и магнитным полем катушки, что определяет реактивную мощность Q.
Начальная фаза Угол сдвига фаз
Комплексное сопротивление C- элемента всегда является мнимым отрицательным числом, модуль которого равен Х С. Следовательно сопротивление конденсатора чисто реактивное и равно: Закон Ома:
На C –элементе происходит обмен энергией между источником электрической энергии и электрическим полем конденсатора, что определяет реактивную мощность Q. С-элемент работы не совершает, поэтому активная мощность равна 0.
Закон Ома: Законы Кирхгофа Тригонометрический вид Комплексный вид Первый закон: Второй закон: Анализ цепей синусоидального тока происходит при условии, что все элементы цепи идеальны, т.е. R, L, C идеальны. Электрическое состояние цепей синусоидального тока описывается теми же законами, что и в цепях постоянного тока.
Если электрическая цепь содержит идеализированный R элемент, то угол φ=0 и векторная диаграмма имеет вид Если электрическая цепь содержит идеализированный L элемент, то угол φ= 9 0 и векторная диаграмма имеет вид Если электрическая цепь содержит идеализированный C элемент, то угол φ= -9 0 и векторная диаграмма имеет вид
Если электрическая цепь содержит активно-индуктивную нагрузку, то угол 0<φ<90 и векторная диаграмма имеет вид : Если электрическая цепь содержит активно-емкостную нагрузку, то угол -90<φ<0 и векторная диаграмма имеет вид :
Если электрическая цепь содержит последовательное соединение элементов, то за основу векторной диаграммы принимается вектор тока, относительно которого строятся вектора напряжений. Если электрическая цепь содержит параллельное соединение элементов, то за основу векторной диаграммы принимается вектор напряжения, относительно которого строятся вектора токов.
Закон Ома:
Если X L >X C то отсюда следует что U опережает I, значит цепь имеет индуктивный характер.
Если X L <X C то отсюда следует что I опережает U, значит цепь имеет емкостной характер.
Режим работы RLC цепи, при условии равенства реактивных сопротивлений X C = X L, когда общее напряжение цепи совпадает по фазе с её током φ=0 - называется резонансом напряжений. Цепь имеет активный характер:
Напряжение на входе совпадает по фазе с током, т.е. сдвиг фаз между I и U φ=0, cos (φ)=1 Ток в цепи будет наибольшим и как следствие P max = I 2 max R тоже максимальна, а реактивная мощность равна нулю. Напряжения на элементах цепи могут в несколько раз превышать напряжение на входе .
G – действительная часть, активная составляющая B – мнимая часть, реактивная составляющая
Режим токов при котором в цепи, содержащей параллельные ветви с индуктивными и емкостными элементами, ток неразветвленного участка цепи совпадает по фазе с напряжением (φ=0), называют резонансом токов. Условие резонанса токов: Равенство реактивных составляющих проводимостей в ветвях
Токи ветвей равны I PC = I PL и находятся в противофазе. Токи ветвей превышают полный ток цепи, который имеет минимальное значение. и совпадают по фазе, φ = 0
R – активное сопротивление не зависит от частоты X L, X C – реактивные сопротивления зависят от частоты На графиках показаны зависимости тока, полного комплексного сопротивления и угла сдвига фаз от частоты
Увеличение напряжения U приведет к увеличению изоляции проводов, увеличение тока I приведет к увеличению площади сечения проводов.
Трёхфазные электрические цепи синусоидального тока
Трёхфазная система электроснабжения Трехфазная цепь — это совокупность трёхфазной системы ЭДС, трехфазной нагрузки (нагрузок) и соединительных проводов. Трёхфазной системой ЭДС (напряжений) наз. систему из трёх однофазных электрических цепей, в которых действуют три синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, равные по амплитуде и сдвинутые по фазе относительно друг друга на угол 2 π /3 (120°). Преимущества генерирования, передачи и преобразования электрической энергии в трёхфазных цепях по сравнению с однофазными цепями заключаются в следующем: меньший расход меди в проводах и стали в одном трёхфазном трансформаторе по сравнению с расходом материалов в трёх однофазных трансформаторах; простота получения вращающегося магнитного поля в электродвигателях переменного тока и меньшие пульсации момента на валу трёхфазных генераторов и двигателей; элементы системы — трёхфазный синхронный генератор, трехфазный асинхронный двигатель и трёхфазный трансформатор — просты в производстве, экономичны и надёжны в работе. Напряжение двум номиналов. Под фазой трёхфазной цепи понимают участок цепи, по которой протекает одинаковый ток. Под фазой будем также понимать аргумент ( w t - Y) синусоидальной функции. Т.е., в зависимости от рассматриваемого вопроса фаза — это либо участок трёхфазной цепи, либо аргумент синусоидальной функции. В трёхфазной цепи различают фазы А, B и С генератора — источника напряжения (ИН) и фазы а, b и с приёмника. Обозначают (окрашивают) их соответственно в жёлтый (фаза А ), зелёный (фаза B ) и красный (фаза С ) цвета. Концы обмоток фаз ИН Х, Y и Z соединяют в общую точку N (реже обозначают эту точку символом 0 (ноль)) и называют ее нейтралью трёхфазного генератора.
Основные элементы трехфазной цепи: Трёхфазный генератор Линии передачи Приёмники Основные элементы генератора: Неподвижный статор (состоит из трёх обмоток). Вращающийся ротор (электромагнит) A,B,C – начала фаз X,Y,Z – концы фаз
Схемы соединения фаз генератора и трёхфазной нагрузки. Обмотки статора трёхфазного генератора соединяют по схеме звезда (Y) (см. рис. слева) или треугольник (D) (см. рис. справа). Трёхфазная нагрузка (приёмник) также может быть соединена по схеме звезда или треугольник. Электрические величины, относящиеся к генератору, будем снабжать индексами из прописных букв А, B и C, а величины, относящиеся к трёхфазному приёмнику, — индексами из строчных букв а, b и c. Провода, соединяющие точки А и а, B и b, С и с, называют линейными (провод А, провод B и провод С ), соответственно и токи в них I A, I B, I C называют линейными. Провод, соединяющий точку N (нейтраль генератора) с точкой n (нейтралью приёмника), называют нейтральным (иногда, нулевым), а ток I N в нем — током в нейтральном проводе.
Алгоритм соединения: A-Y B-Z C-X
Без нейтрального провода С нейтральным проводом
Получаем несимметричную систему фазных напряжений. Определяем напряжение смещения нейтрали U nn 0.
Исходная схема превращается в два последовательно соединенных элемента попадающих под линейное напряжение
Определяем токи в фазах и напряжение смещения нейтрали
Определяем ток в фазе с коротким замыканием и напряжение смещения нейтрали
Фазные напряжения приемника равны соответствующим линейным напряжениям источника питания Линейные токи определяются по фазным токам по первому закону Кирхгофа
Мгновенная мощность трехфазного источника электрической энергии: Среднее за период значение мощности:
Активная мощность: Реактивная мощность: Модуль полной мощности трехфазной цепи:
Соединение по схеме звезда: Соединение по схеме треугольник: При симметричной нагрузке формулы мощности независимо от схемы соединения приемников одинаковы.
