Перпендикулярность плоскостей Параллелепипед
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0.
Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, плоскости стены и потолка.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. А В С D Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей. a
Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости. Задача c A a b Признак перпендикулярности прямой и плоскости c B C Подсказка
Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны. Задача c b a a b Признак параллельности прямой и плоскости Подсказка
Плоскости и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям и. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а. Задача С А В М a
Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник. Задача a С А В М
Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости. Задача a
Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед Две грани параллелепипеда параллельны.
1 0. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. 2 0. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Планиметрия Стереометрия В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений. А В С D d a b d 2 = a 2 + b 2 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. d 2 = a 2 + b 2 + с 2 a b с d
d C а b с B A D B 1 C 1 D 1 A 1 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. d 2 = a 2 + b 2 + с 2
Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба. Задача D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 d 2 = a 2 + b 2 + с 2 d = 3 a 2 d 2 = 3 a 2 d = a 3 d = a 3 а а а
Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m. б) диагональ куба равна d. Задача D А В С D 1 С 1 m Н А Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра Подсказка В 1 А 1
Дан куб. Найдите следующие двугранные углы: a ) АВВ 1 С; б) А DD 1 B ; в) А 1 ВВ 1 К, где K – середина ребра А 1 D 1. Задача D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 K
Дан куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1. Докажите, что плоскости АВС 1 и А 1 В 1 D перпендикулярны. № 191. D А В С А 1 D 1 С 1 В 1
Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. № 192. D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 Подсказка Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. П-Р Н-я П-я Н А М П-Р Н-я П-я
Задача D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1. Найдите расстояние между: а) прямой А 1 С 1 и и плоскостью АВС; a II a Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью n d m
Задача D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 Найдите расстояние между: б) плоскостями АВВ 1 и DCC 1 ; n d m II Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.
Задача D А В С А 1 D 1 С 1 Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1. Найдите расстояние между : в) прямой DD 1 и плоскостью АСС 1. n d m Подсказка a II a Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью В 1
Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; № 1 94. D А В С D 1 С 1 а В 1 А 1 a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. a b a b Подсказка
Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: б) диагональ куба и диагональ грани куба. Задача D А В С D 1 С 1 а В 1 А 1 a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. a b a b Подсказка
Задача D В D 1 С 1 Изобразите куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА 1 и перпендикулярной к плоскости ВВ 1 D 1 ; А А 1 С В 1
Задача Изобразите куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости С DA 1. D В D 1 С 1 А А 1 В 1 С
