Понятие многогранника Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11" Призма Савченко Е.М., учитель математики, МОУ гимназия №, г. Полярные Зори, Мурманской обл.
Параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов.
Тетраэдр – поверхность, составленная из четырех треугольников. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. С А В S S
Октаэдр составлен из восьми треугольников. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.
Прямоугольный параллелепипед Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.
Невыпуклый многогранник
Призма А 1 А 2 А n B 1 B 2 B n B 3 А 3 Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой. n -угольная призма. Многоугольники А 1 А 2 …А n и В 1 В 2 …В n – основания призмы. Параллелограммы А 1 В 1 В 2 В 2, А 2 В 2 В 3 А 3 и т.д. боковые грани призмы
Призма А 1 А 2 А n B 1 B 2 B n B 3 А 3 Отрезки А 1 В 1, А 2 В 2 и т.д. - боковые ребра призмы Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники.
Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех граней, а площадью боковой поверхности призмы – сумма площадей ее боковых граней. h h P oc н
Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы. № 22 2. 25 9 8 H В С D А 1 D 1 С 1 В 1 А F 9 8 8
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 0. Найдите боковое ребро параллелепипеда. № 219. В С А 1 D 1 С 1 В 1 ? D А 12 см 5 см 45 0
Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда. № 220. В С А 1 D 1 С 1 В 1 ? D А 24 10 10 см
1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани равна 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. 2. Основание прямой призмы – параллелограмм со сторонами 8 и 15 см и углом 120 о. Боковая поверхность призмы имеет площадь 460 см 2. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. 3. Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с катетами 13 и 12 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания. № 22 1. А В С С 1 В 1 А 1 8 6 8 8 8 10
D Высота правильной четырехугольной призмы равна, а сторона основания – 8 см. Найдите расстояние между вершиной А и точкой пересечения диагоналей грани DD 1 С 1 С. С 1 В 1 А 1 D 1 С В А О 8 8
Через два противолежащих ребра проведено сечение, площадь которого равна см 2. Найдите ребро куба и его диагональ. № 223. D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 a a a 64 64 S=
Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. № 236. A 1 A 2 A 3 A 4 S 1 =A 1 A 2 * l S 2 =A 2 A 3 * l S 3 =A 3 A 4 * l S 4 =A 4 A 1 * l +
Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. № 23 7. А В С D А 1 D 1 С 1 12 5
Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30 0. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания. № 225. В С А 1 D 1 С 1 В 1 D А ? 30 0 a a a 2 a a 2
В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота 4 см. № 226. D А В С D 1 С 1 В 1 А 1 2 2 4 O N
А B C 1 B 1 А 1 C Основанием наклонной призмы АВСА 1 В 1 С 1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ=13см, ВС=10см,а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45 0. Проекцией вершины А 1 является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС 1 В 1 В. № 228. 13 13 10 45 0
120 0 А 1 Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120 0 между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. № 230. А В С С 1 В 1 3 5 S= 35 см 2
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60 0. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см 2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. № 231. В С А 1 D 1 С 1 В 1 D 8 15 60 0 S= 130см 2 А А 8 15 60 0 D С В
А B 24 C 1 B 1 А 1 C 35 12 В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. № 23 8. К О
D d Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол, а с одной из боковых граней – угол. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. № 2 32. А 1 В 1 С 1 D 1 А В С
Основание прямой призмы АВСА 1 В 1 С 1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ 1 проведено сечение ВВ 1 D 1 D, перпендикулярное к плоскости грани АА 1 С 1 С. Найдите площадь сечения, если АА 1 =10см, А D =27см, DC = 12см. № 2 3 3. А С В В 1 А 1 С 1 D D 1 10 27 12 Из АВС S сеч = 10 * 18
Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите S сеч, если катеты равны 20см и 21см, а боковое ребро равно 42 см. № 2 3 4. А С В В 1 А 1 С 1 D D 1 42 2 0 21 N N 1 21 2 0 А С В D N ?
А В С С 1 В 1 А 1 2 D
D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 1 1 1 К
