Пятнадцатое февраля. Классная работа. Площадь и периметр многоугольников составленных из прямоугольников.
На прошлом уроке мы научились находить площадь прямоугольника и квадрата. Как найти площадь прямоугольника? По какой формуле вычисляется площадь квадрата? На прошлом уроке мы с вами вычисляли площади многоугольников, составленных из квадратов. Сегодня мы продолжим изучать способы вычисления площади многоугольников на клетчатой бумаге.
2. Вычислите площадь многоугольника
«Решение задач – практическое искусство, подобно плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянной тренировкой» Д. Пойа
На уроках математики всегда используют тетради в клетку. Почему? Но вы вряд ли представляете, насколько мощным инструментом является клетка для геометрических построений и для решения задач на клетчатой бумаге. «Клетка – ты чудо! Загадочна, проста и таинственна. Сколько возможностей, открытий хранишь в себе. Сколько закономерностей можно раскрыть, благодаря этому «Чуду»!» Сегодня мы с вами будем решать задачи на клетчатой бумаге. Задачи на нахождение площади многоугольников.
Использование способа подсчета клеток Задача 1. Найти площадь многоугольника, если площадь одной клетки 1см² Решение: Многоугольник состоит из 2 целых клеток и 8 половинок, значит его площадь будет равна 2 + 4 = 6 (см²)
Задача 2. Найти площадь фигуры АВС D. Размер клетки 1 см² Достраивание до квадрата или прямоугольника Решение: Достроим около фигуры квадрат со стороной 4 клетки. Для того, чтобы найти площадь розовой фигуры надо из площади квадрата вычесть площадь 4 одинаковых треугольников. Значит S = 4·4 - 4·3·1 : 2 = 10 (см²)
Решение: Разобьем фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольники или квадраты. Площадь голубого треугольника равна 2ˑ6 :2=6см², площадь рыжего - 1·4:2=2см², площадь сиреневого - 2·3:2=3см², площадь прямоугольника равна 1·2 =2см². Значит площадь всей фигуры будет равна сумме всех частей S = 6см²+2см²+3см²+ 2см² = 13см² Разбиение фигуры на части Задача 2. Найти площадь многоугольника, если площадь одной клетки равна 1 см²
Вывод: Способы достраивания и способ разбиения подходят для нахождения площадей любых многоугольников, с вершинами в узлах решетки, но они очень трудоемкие. Нет ли способа полегче?
Нахождение площади многоугольника по формуле Пика Формула была открыта в 1899году австрийским математиком Георгом Пиком. Формула применяется для вычисления площади многоугольника, вершины которого располагаются в узлах квадратной сетки. Она связывает площадь многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника, S = Г : 2 + В – 1, где S – площадь многоугольника; Г – количество узлов сетки, попадающих на стороны многоугольника (на границе многоугольника) В – количество узлов сетки, расположенных внутри многоугольника (внутренние точки многоугольника)
S = Г : 2 + В – 1
Георг Алекса́ндр Пик ( 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
Вернемся к нашей задаче №3. Решим её по формуле Пика. Для этого расставим точки в углах решетки: красные - на границе фигуры, зеленые – внутри фигуры и посчитаем их Г = 10 В = 9 S = S = 10:2 + 9 – 1 = 13(см²) Вывод: Этот способ универсальный и наименее трудоемок, но если клетки мелкие и рисунок не четкий, можно ошибиться в подсчете точек в узлах решетки.
Найдём площадь параллелограмма по формуле Пика: Отметим узлы: Г = 18 (обозначены красным) В = 20 (обозначены синим) S = 18:2 + 20 – 1 = 28 (см²)
Г = 4, В = 12 S = 4: 2 + 12 – 1 = 13 ( см²) Найдём площадь произвольного треугольника по формуле Пика:
По формуле Пика нельзя вычислить площадь правильного треугольника, пятиугольника, шестиугольника и т.д. Длины их сторон нельзя расположить у узлах квадратной решетки. Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.
Физкультминутка Дружно с вами мы решали, Много, много рассуждали, А теперь все дружно встали, Свои косточки размяли. На счет раз кулак сожмем, На счет два в локтях согнем. На счет три - прижмем к плечам, На четыре – к небесам. На счет 5 – сильней прогнулись, И друг другу улыбнулись. На счет 6 – садимся снова И продолжить все готовы.
А теперь решаем самостоятельно Г = 14; В = 4; S = 14:2 + 4 – 1 = 10
Вычислим площадь многоугольника по формуле Пика
S = 14
S = 15
Ну кто придумал эту математику ! У меня всё получилось! Надо решить ещё пару задач. Рефлексия
Домашнее задание Выполните задание по QR - кодам
Благодарю за работу !
