Рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.
Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5 + ¼ возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно. Сформулируем правила сложения рациональных чисел :
Определение 1 Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a ( для любого рационального числа а ). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a Пара простых примеров:
Определение 2 Сумма противоположных чисел равна нулю. Данное правило можно записать в виде : a + ( − a ) = 0 ( для любого рационального числа a ). К примеру, числа 45,13 и − 45,13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45,13 + (− 45,13 ) = 0.
В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей. Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно
Определение 3 Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Определение 4 Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.
Определение 5 При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных. Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства c + b = a следует, что a − b = c и a−c=b. И наоборот: из равенств a − b = c и a − c = b следует, что c + b = a.
Определение 6 В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a – b = a + ( − b ) Указанное равенство можно доказать, опираясь на свойства действий с рациональными числами. Они дают возможность записать цепочку равенств: ( a + ( − b ) ) + b = a + ( ( − b ) + b ) = a + 0 = a. Отсюда в силу смысла действия вычитания следует, что сумма a + ( − b ) есть разность чисел a и b.
Определение 7 Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль. Т.е. a ⋅ 0 = 0. Используя переместительное свойство умножения, получим: 0 ⋅ а = 0
Определение 8 Умножение любого рационального числа a на 1 дает число a. Т.е. a ⋅ 1 = a или 1 ⋅ a = a ( для любого рационального a ). Единица здесь является нейтральным числом по умножению. К примеру, умножение рационального числа 5,46 на 1 даст в итоге число 5,46. 5,46*1 = 5,46
В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.
В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.
Определение 10 Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.
Определение 11 Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.
Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю. Смысл действия деления можно записать так: из равенства b ⋅ c = a следует, что a : b = c и a : c = b. И наоборот: из равенств a : b = c и a : c = b следует, что b⋅c=a. На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.
