Основные понятия Геометрическое изображение комплексных чисел Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Действия над комплексными числами Показательная форма комплексного числа
Комплексным числом z называют выражение: где а и b – действительные числа, i – мнимая единица, определяемая равенством: а называется действительной частью числа z, b – мнимой частью. Их обозначают так: Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым. Если b = 0, то получается действительное число а. Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными :
Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости XOY в виде точки A(a; b). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью комплексной переменной. y 0 х A(a; b) z a b Точкам, лежащим на оси OX, соответствуют действительные числа ( b = 0 ), поэтому ось OX называют действительной осью. Точкам, лежащим на оси OY, соответствуют чисто мнимые числа ( a = 0 ), поэтому ось OY называют мнимой осью. Иногда удобно считать геометрическим изображением комплексного числа z вектор
Тогда имеют место равенства: Следовательно, комплексное число z можно представить в виде: y 0 х A(a; b) z a b Обозначим через r модуль вектора, через φ угол между вектором и положительным направлением оси OX. φ Тригонометрическая форма записи комплексного числа Модуль комплексного числа Аргумент комплексного числа Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого r
Равенство комплексных чисел. 1 Два комплексных числа и называются равными :, если Комплексное число равно нулю, тогда и только тогда, когда 2 Сложение и вычитание комплексных чисел. Суммой (разностью) комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством:
3 Умножение комплексных чисел. Сложение и вычитание комплексных чисел, изображенных векторами производится по правилу сложения или вычитания векторов: y 0 х z z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 - z 2 Умножением комплексных чисел и называется число, получаемое при умножении этих чисел по правилам алгебры как двучлены, учитывая что При любом целом k :
На основании этого правила получим: тогда произведение находится по формуле: Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме: Произведение сопряженных комплексных чисел:
4 Деление комплексных чисел. Чтобы разделить на необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю: Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
Найти произведение и частное комплексных чисел: = -1
5 Возведение в степень комплексного числа. При возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра) 6 Извлечение корня из комплексного числа. Корень n – ой степени из комплексного числа находится по формуле: Арифметическое значение корня из положительного числа r
Придавая k значения 0, 1, 2, …, n –1, получим n различных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2 π, и, следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме:
Найти все значения кубического корня из единицы A В С y х z
Рассмотрим показательную функцию от комплексной переменной z. Комплексные значения функции w определяются по формуле: Пример: Пусть Если х и y – действительные переменные, то z называется комплексной переменной. (1)
Если в формуле (1) положим x = 0, то получим: Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. (2) Заменим в формуле (2) y на – y : (3) Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :
Представим комплексное число z в тригонометрической форме:: По формуле Эйлера: Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной форме : Действия над комплексными числами в показательной форме : Пусть имеем: Тогда:
