СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ
Рассмотрим квадратную матрицу порядка с постоянными действительными элементами Определение. Число называется собственным значением, а ненулевой вектор называется соответствующим собственным вектором матрицы если выполняется равенство:
Определение. Множество всех собственных значений матрицы называется спектром матрицы. Замечание. Представим равенство (1) в сл. виде: или единичная матрица порядка. Равенство (2) является системой линейных алгебраических уравнений относительно вектора. Собственные значения матрицы
Система вида (2) всегда совместна, так как всегда имеет нулевое решение. Система (2) имеет тривиальное (нулевое ) решение, если определитель матрицы Система (2) имеет ненулевые решения, если Собственные значения матрицы
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением матрицы. Решения уравнения (3) называются собственными значениями матрицы. Уравнение (3) можно представить в сл. виде
Вычислив определитель, разложив его по элементам первой строки, и сгруппировав подобные члены, получим алгебраическое уравнение степени относительно, а где постоянные действительные числа Многочлен ой степени относительно называется характеристическим многочленом матрицы Собственные значения матрицы
Согласно основной теореме алгебры характеристическое уравнение всегда имеет ровно корней (с учетом их кратности), которые в общем случае являются комплексными числами. Теорема. Любая постоянная квадратная матрица порядка имеет с учетом кратности ровно собственных значений, совпадающих с корнями характеристического уравнения.
Замечание. Задача нахождения собственных значений матрицы сводится к решению характеристического уравнения. Пример. Найти собственные значения и векторы матрицы Решение. Составляем характеристическое уравнение
Найдем собственный вектор соответствующий собственному значению
Положив получим
является собственным вектором матрицы с собственным значением Аналогично для собственного значения получим следующее
Произведение собственных значений матрицы равно ее определителю Число отличных от нуля собственных значений матрицы равно ее рангу. Все собственные значения матрицы отличны от нуля только и только тогда, когда матрица невырожденная.
Если собственное значение невырожденной матрицы, то собственное значение матрицы. Если собственное значение матрицы, то собственное значение матрицы ( m – натуральное число).
, 1. Если из характеристического уравнения найдено собственное значение кратности, то поиск соответствующих числу собственных векторов матрицы А сводится к решению линейной системы с постоянной квадратной матрицей порядка
Определение. Векторы линейного векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю, такие, что справедливо равенство: . (1 ) Определение. Векторы линейного векторного пространства называются линейно независимыми, если выполнение равенства (1) возможно только при условии: .
Система всегда имеет бесконечное множество решений, в котором число базисных (то есть максимальное число линейно независимых) решений равно где ранг матрицы, то есть целое неотрицательное число,.
Поэтому любому собственному значению квадратной матрицы А соответствует хотя бы один линейно независимый собственный вектор. Более того, число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственному значению кратности не превосходит числа
Если простое собственное значение матрицы A, тогда этому числу отвечает ровно один линейно независимый собственный вектор который находим из системы, например, с помощью метода Гаусса.
Случай, когда характеристическое уравнение имеет комплексный корень кратности Так как данное алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами, то оно обязательно имеет корень комплексно–сопряженный по отношению к. .
Кратность корня равна числу Поэтому следует найти собственные векторы, соответствующие собственному значению. Далее нужно построить к ним комплексно-сопряженные векторы, которые являются собственными векторами, соответствующими собственному значению. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ
4. Пусть у матрицы А есть кратное собственное значение кратности Тогда, решая систему будет найдено линейно независимых собственных векторов, отвечающих числу Причем число удовлетворяет двойному неравенству: где
Замечание. Если оказывается, что то для собственного значения будет найдено столько линейно независимых собственных векторов, какова кратность рассматриваемого собственного значения
1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Решение. Найдем собственные значения матрицы
собственное значение кратности , . Ответ:
